바나흐 대수: 두 판 사이의 차이

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2017년 1월 29일 (일) 12:55 판

함수해석학에서, 바나흐 대수(Banach代數, 영어: Banach algebra)는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다.^[1]^[2]^[3] 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 가 주어졌다고 하자. 바나흐 대수 $(X,+,0,\cdot ,1,\|\|)$ 는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.

$(X,+,0,\|\|)$ 는 $\mathbb {K}$ -바나흐 공간이다.
$(X,+,0,\cdot ,1)$ 는 $\mathbb {K}$ -결합 대수이다.

또한, 바나흐 공간과 결합 대수 구조 사이에 다음과 같은 호환 조건이 주어져야 한다.

(노름 부등식) $\Vert a\cdot b\Vert \leq \Vert a\Vert \Vert b\Vert$ .

(일부 문헌에서는 바나흐 대수가 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.)

성질

환론적 성질

겔판트-마주르 정리(Гельфанд-Mazur定理, 영어: Gelfand-Mazur theorem)에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

나눗셈환이다.
영역이며, 모든 주 아이디얼이 닫힌집합이다.
$\mathbb {R}$ (실수체) · $\mathbb {C}$ (복소수체) · $\mathbb {H}$ (사원수 대수) 가운데 하나이다.

특히, 복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 $\mathbb {C}$ 밖에 없다.

실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환이며 정역인 것은 $\mathbb {R}$ 와 $\mathbb {C}$ 밖에 없다.

복소수 바나흐 대수 $B$ 의 임의의 두 원소 $a,b\in B$ 에 대하여, $ab-ba\neq 1$ 이다. (이는 $ab$ 와 $ba$ 의 스펙트럼이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.)

위상수학적 성질

$\mathbb {K}$ -바나흐 대수의 가역원군은 위상군을 이룬다. 구체적으로, $\mathbb {K}$ -바나흐 대수 $B$ 의 가역원군 $\operatorname {Unit} (B)\subseteq B$ 는 $B$ 의 열린집합이며, 역원 함수

(-)^{-1}\colon \operatorname {Unit} (B)\to \operatorname {Unit} (B)

는 연속 함수이다.

스펙트럼

임의의 $\mathbb {K}$ -바나흐 대수 $B$ 의 원소 $b\in B$ 의 스펙트럼은 다음과 같다.

\sigma (b)=\left\{\lambda \in \mathbb {K} \colon \nexists (\lambda -b)^{-1}\right\}

이는 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼의 개념의 일반화이다.

겔판트 표현

가환 복소수 바나흐 대수 $B$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

$B$ 의 극대 아이디얼의 집합 $\operatorname {Max} (B)$
(항등원을 보존하는) 결합 대수 준동형 $B\to \mathbb {C}$ 의 집합 $\Delta (B)$ . (이는 물론 전단사 함수이어야 한다.)

구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다.

극대 아이디얼

{\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (B)

에 대하여,

B/{\mathfrak {m}}

은 체인 복소수 바나흐 대수이므로,

B/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C}

이다. 따라서, 몫 준동형

(/\mathbb {m} )\colon B\twoheadrightarrow B/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C}

이 존재한다.

이 때문에, $B$ 의 극대 아이디얼은 지표(指標, 영어: character)라고도 한다.

임의의 지표 $\chi \in \Delta (B)$ 는 항상 연속 함수이다. (이는 그 핵 ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (B)$ 는 항상 닫힌집합이기 때문이다.) 또한, 그 작용소 노름은 항상 1이다. 이에 따라, $\Delta (B)$ 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, $\Delta (B)$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 ${\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )$ 를 정의할 수 있다.

이 경우, $B$ 의 겔판트 표현(Гельфанд表現, 영어: Gelfand representation)은 다음과 같다.

{\hat {\;}}\colon B\to {\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )

{\hat {b}}\colon \chi \mapsto \chi (b)\qquad (b\in B,\;\chi \in \Delta (B))

이는 결합 대수 준동형을 이루며, 또한 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.

\sigma (b)=\sigma ({\hat {b}})=\{\chi (b)\colon \chi \in \Delta (B)\}\subseteq \mathbb {C} \qquad \forall b\in B

여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 ${\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )$ 에서 취한 스펙트럼이다.

예

자명한 대수

한원소 집합 $\{\bullet \}$ 에 자명한 $\mathbb {K}$ -바나흐 공간 및 $\mathbb {K}$ -결합 대수 구조

\|\bullet \|=0

\bullet +\bullet =\bullet \cdot \bullet =\bullet

를 주면, 이는 자명하게 $\mathbb {K}$ -바나흐 대수를 이룬다.

연속 함수 공간

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위에 정의된 연속 함수의 공간 ${\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )$ 은 (균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여) $\mathbb {K}$ -바나흐 대수를 이룬다.

나눗셈 대수

실수체 $\mathbb {R}$ · 복소수체 $\mathbb {C}$ · 사원수 대수 $\mathbb {H}$ 는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 $\mathbb {C}$ 는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. ( $\mathbb {R}$ 와 $\mathbb {H}$ 는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)

유클리드 공간

자연수 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여, 유한 차원 $\mathbb {K}$ -벡터 공간 $V=\mathbb {K} ^{n}$ 위에 1-노름

\|(a_{1},\dotsc ,a_{n})\|=\max\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}

및 성분별 곱

(a_{1},\dotsc ,a_{n})\cdot (b_{1},\dotsc ,b_{n})=(a_{1}b_{1},\dotsc ,a_{n}b_{n})

을 부여하면, 이는 가환 $\mathbb {K}$ -바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군은

\operatorname {Unit} (V)=(\mathbb {K} ^{\times })^{n}

이다.

유계 작용소

$\mathbb {K}$ -바나흐 공간 $V$ 위의 $V\to V$ 유계 작용소들의 집합 $\operatorname {B} (V,V)$ 는 작용소 노름과 함수의 합성에 의하여 $\mathbb {K}$ -바나흐 대수를 이룬다.

= C* 대수

모든 C* 대수는 바나흐 대수를 이룬다.

참고 문헌

↑ Bonsall, Frank F.; Duncan, John (1973). 《Complete normed algebras》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 80. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-65669-9. ISBN 978-3-642-65671-2. ISSN 0071-1136.
↑ Dales, H. Garth; Aeina, Pietro; Eschmeier, Jörg; Laursen, Kjeld; Willis, George A. (2003). 《Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis》. Cambridge University Press (영어). ISBN 0-521-53584-0.
↑ Mosak, Richard D. (1975). 《Banach algebras》. Chicago Lectures in Mathematics (영어). ISBN 0-226-54203-3.

바깥 고리

“Banach algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Moslehian, Mohammad Sal. “Banach algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Gelfand algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Banach algebra”. 《nLab》 (영어).
“Gelfand-Mazur theorem”. 《nLab》 (영어).

[1] Bonsall, Frank F.; Duncan, John (1973). 《Complete normed algebras》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 80. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-65669-9. ISBN 978-3-642-65671-2. ISSN 0071-1136.

[2] Dales, H. Garth; Aeina, Pietro; Eschmeier, Jörg; Laursen, Kjeld; Willis, George A. (2003). 《Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis》. Cambridge University Press (영어). ISBN 0-521-53584-0.

[3] Mosak, Richard D. (1975). 《Banach algebras》. Chicago Lectures in Mathematics (영어). ISBN 0-226-54203-3.

[1]

[2]

[3]

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+[[함수해석학]]에서, '''바나흐 대수'''(Banach代數, {{llang|en|Banach algebra}})는 [[바나흐 공간]]과 [[결합 대수]]의 구조를 서로 호환되게 갖춘 [[집합]]이다.<ref>{{cite book |이름1=Frank F. |성1=Bonsall |이름2=John|성2= Duncan | title=Complete normed algebras | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1973 | isbn=978-3-642-65671-2|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=80|issn=0071-1136|doi=10.1007/978-3-642-65669-9|언어=en}}</ref><ref>{{cite book |이름=H. Garth|성= Dales |이름2=Pietro|성2= Aeina |이름3=Jörg |성3=Eschmeier |이름4=Kjeld|성4= Laursen |이름5=George A.|성5= Willis | title=Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis | series=Cambridge University Press | 날짜=2003 | isbn=0-521-53584-0 |언어=en}}</ref><ref>{{cite book | 이름=Richard D. |성= Mosak | title=Banach algebras | series=Chicago Lectures in Mathematics | 날짜=1975 | isbn=0-226-54203-3 |언어=en}}</ref> 대표적인 예로 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] 위의 [[연속 함수]] 공간이나 [[바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]] 공간이 있다.
-[[함수해석학]]에서, '''바나흐 대수'''({{llang|en|Banach algebra}})는 [[노름]]과 [[곱셈]]을 갖춘 [[벡터 공간]]이다.
 == 정의 ==
+<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 주어졌다고 하자. '''바나흐 대수''' <math>(X,+,0,\cdot,1,\|\|)</math>는 다음과 같은 구조가 주어진 [[집합]]이다.
-'''바나흐 대수''' <math>(X,\cdot)</math>는 다음 공리들을 만족하는 곱셈 <math>\cdot\colon X\times X\to X</math>이 갖추어진 [[바나흐 공간]] <math>X</math>이다. 임의의 <math>a,b,c\in X</math>에 대하여,
+* <math>(X,+,0,\|\|)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이다.
-* ([[결합법칙]]) <math>a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>
+* <math>(X,+,0,\cdot,1)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[결합 대수]]이다.
+또한, [[바나흐 공간]]과 [[결합 대수]] 구조 사이에 다음과 같은 호환 조건이 주어져야 한다.
 * ([[노름]] 부등식) <math>\Vert a\cdot b\Vert\le\Vert a\Vert\Vert b\Vert</math>.
+(일부 문헌에서는 바나흐 대수가 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.)
-실수 또는 복소 바나흐 공간 둘 다 가능하다.
+== 성질 ==
+=== 환론적 성질 ===
+'''겔판트-마주르 정리'''(Гельфанд-Mazur定理, {{llang|en|Gelfand-Mazur theorem}})에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
+* [[나눗셈환]]이다.
+* [[영역 (환론)|영역]]이며, 모든 [[주 아이디얼]]이 [[닫힌집합]]이다.
+* <math>\mathbb R</math> ([[실수체]]) · <math>\mathbb C</math> ([[복소수체]]) · <Math>\mathbb H</math> ([[사원수 대수]]) 가운데 하나이다.
+특히, 복소수 바나흐 대수 가운데 [[나눗셈환]]인 것은 <math>\mathbb C</math> 밖에 없다.
+실수 바나흐 대수 가운데 [[뇌터 가환환]]인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 [[뇌터 가환환]]이며 [[정역]]인 것은 <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb C</math> 밖에 없다.
+복소수 바나흐 대수 <math>B</math>의 임의의 두 원소 <math>a,b\in B</math>에 대하여, <math>ab-ba\ne1</math>이다. (이는 <math>ab</math>와 <math>ba</math>의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.)
+=== 위상수학적 성질 ===
+<math>\mathbb K</math>-바나흐 대수의 가역원군은 [[위상군]]을 이룬다. 구체적으로, <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수 <Math>B</math>의 [[가역원군]] <math>\operatorname{Unit}(B)\subseteq B</math>는 <math>B</math>의 [[열린집합]]이며, 역원 함수
+:<math>(-)^{-1}\colon\operatorname{Unit}(B)\to\operatorname{Unit}(B)</math>
+는 [[연속 함수]]이다.
+=== 스펙트럼 ===
+{{본문|스펙트럼 (함수해석학)}}
+임의의 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수 <math>B</math>의 원소 <math>b\in B</math>의 '''[[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]'''은 다음과 같다.
+:<math>\sigma(b)=\left\{\lambda\in\mathbb K\colon\nexists (\lambda-b)^{-1}\right\}</math>
+이는 [[바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]]의 스펙트럼의 개념의 일반화이다.
+=== 겔판트 표현 ===
+[[가환환|가환]] 복소수 바나흐 대수 <math>B</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.
+* <math>B</math>의 [[극대 아이디얼]]의 집합 <math>\operatorname{Max}(B)</math>
+* (항등원을 보존하는) [[결합 대수]] [[준동형]] <math>B\to\mathbb C</math>의 집합 <math>\Delta(B)</math>. (이는 물론 [[전단사 함수]]이어야 한다.)
+구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다.
+:극대 아이디얼 <math>\mathfrak m\in\operatorname{Max}(B)</math>에 대하여, <math>B/\mathfrak m</math>은 [[체 (수학)|체]]인 복소수 바나흐 대수이므로, <math>B/\mathfrak m\cong\mathbb C</math>이다. 따라서, 몫 준동형 <math>(/\mathbb m)\colon B\twoheadrightarrow B/\mathfrak m\cong\mathbb C</math>이 존재한다.
+이 때문에, <math>B</math>의 [[극대 아이디얼]]은 '''지표'''(指標, {{llang|en|character}})라고도 한다.
+임의의 지표 <math>\chi\in\Delta(B)</math>는 항상 [[연속 함수]]이다. (이는 그 [[핵 (수학)|핵]] <math>\mathfrak m\in\operatorname{Max}(B)</math>는 항상 [[닫힌집합]]이기 때문이다.) 또한, 그 [[작용소 노름]]은 항상 1이다. 이에 따라, <math>\Delta(B)</math> 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, <math>\Delta(B)</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 <math>\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)</math>를 정의할 수 있다.
+이 경우, <math>B</math>의 '''겔판트 표현'''(Гельфанд表現, {{llang|en|Gelfand representation}})은 다음과 같다.
+:<math>\hat\;\colon B\to\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)</math>
+:<math>\hat b\colon\chi\mapsto\chi(b)\qquad(b\in B,\;\chi\in\Delta(B))</math>
+이는 [[결합 대수]] 준동형을 이루며, 또한 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
+:<math>\sigma(b)=\sigma(\hat b)=\{\chi(b)\colon\chi\in\Delta(B)\}\subseteq\mathbb C\qquad\forall b\in B</math>
+여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 <math>\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)</math>에서 취한 스펙트럼이다.
 == 예 ==
+=== 자명한 대수 ===
-[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위에 정의된 [[연속함수]]공간 <math>C^0(X,\mathbb R)</math> 또는 <math>C^0(X,\mathbb C)</math>는 바나흐 대수를 이룬다.
+[[한원소 집합]] <math>\{\bullet\}</math>에 자명한 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] 및 <math>\mathbb K</math>-[[결합 대수]] 구조
+:<math>\|\bullet\|=0</math>
+:<math>\bullet+\bullet=\bullet\cdot\bullet=\bullet</math>
+를 주면, 이는 자명하게 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다.
+=== 연속 함수 공간 ===
+[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위에 정의된 [[연속 함수]]의 공간 <math>\mathcal C^0(X,\mathbb K)</math>은 ([[균등 노름]] 및 점별 합과 곱에 대하여) <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다.
+=== 나눗셈 대수 ===
+[[실수체]] <math>\mathbb R</math> · [[복소수체]] <math>\mathbb C</math> · [[사원수 대수]] <math>\mathbb H</math>는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 <math>\mathbb C</math>는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. (<math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb H</math>는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)
+=== 유클리드 공간 ===
+자연수 <Math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <Math>V=\mathbb K^n</math> 위에 1-노름
+:<math>\|(a_1,\dotsc,a_n)\|=\max\{a_1,\dotsc,a_n\}</math>
+및 성분별 곱
+:<math>(a_1,\dotsc,a_n)\cdot(b_1,\dotsc,b_n)=(a_1b_1,\dotsc,a_nb_n)</math>
+을 부여하면, 이는 [[가환환|가환]] <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다. 그 [[가역원군]]은
+:<math>\operatorname{Unit}(V)=(\mathbb K^\times)^n</math>
+이다.
+=== 유계 작용소 ===
+<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math> 위의 <math>V\to V</math> [[유계 작용소]]들의 집합 <math>\operatorname B(V,V)</math>는 [[작용소 노름]]과 [[함수의 합성]]에 의하여 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다.
+=== C* 대수 ==
+{{본문|C* 대수}}
+모든 C* 대수는 바나흐 대수를 이룬다.
+== 참고 문헌 ==
+{{각주}}
 == 바깥 고리 ==
 * {{eom|title=Banach algebra}}
-* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Banach+algebra|제목=Banach algebra|웹사이트=nLab|언어=en}}
+* {{매스월드|id=BanachAlgebra|title=Banach algebra|이름=Mohammad Sal|성=Moslehian}}
+* {{매스월드|id=GelfandTransform|title=Gelfand algebra}}
+* {{nlab|id=Banach algebra}}
+* {{nlab|id=Gelfand-Mazur theorem}}
 [[분류:함수해석학]]