균등 노름

이 문서는 노름 공간에 관한 것입니다. 보다 일반적인 위상 공간에 대해서는 균등 수렴 위상 문서를 참고하십시오.

정사각형 둘레 위의 점들은 ℝ²에서 균등 노름의 값이 같은 점들이다. 예를 들어 지름이 4인 정사각형 둘레 위의 점 (2, 0), (2, 1)과 (2, 2)는 균등 노름이 2인 벡터들이다.

해석학에서 균등 노름(均等norm, 영어: uniform norm)은 집합 $S$에서 유계인 실함수 또는 복소함수 $f$에 대해 다음의 음의 아닌 값을 부여하는 노름이다.

$\|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}$

균등 노름은 상한 노름(上限norm, 영어: supremum norm), 체비쇼프 노름(영어: Chevyshev norm), 또는 극한 노름(極限norm, 영어: infinity norm)이라고도 하며, 상한이 최댓값과 일치할 때는 최대 노름(最大norm, 영어: max norm, maximum norm)이라고도 부른다.

균등 노름이라는 이름은 함수열 $f_{n}$이 균등 노름의 노름을 기준으로 $f$로 수렴하는 것이 $f_{n}$이 $f$으로 균등 수렴하는 것과 동치인 것에서 비롯되었다.

함수가 실수 위의 닫힌 구간에서 연속인 경우, 더 일반적으로는 콤팩트 집합에서 연속인 경우, 최대 최소 정리에 의해 함숫값은 유계이고 상한과 최댓값이 같아진다. 이 경우 균등 노름은 최대 노름이라고도 부른다.

특히 $x$가 유한 차원 좌표공간에서 $x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$꼴의 벡터일 때, 균등 노름은 아래처럼 정의된다.

$\|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).$

이를 $\ell ^{\infty }$-노름이라 한다.

거리와 위상

균등 노름으로부터 유도되는 거리를 체비쇼프 거리라 하는데, 이를 처음 체계적으로 연구한 파프누티 체비쇼프의 이름을 땄다. 체비쇼프 거리는 특정 정의역에서 유계인 함수에 대해 다음처럼 정의된다.

$$d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }$$

이제 수열 $\left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}$이 $f$로 균등 수렴하는 것은 다음 식이 성립하는 것과 동치이다.

$$\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty }=0$$

위처럼 정의된 거리 위상에 대해, 닫힌 집합 및 폐포를 정의할 수 있다. 균등 노름에 대해 닫힌 집합을 균등하게 닫힌 집합 또는 고른 닫힘이라고 한다. 함수들의 집합 A에 대한 고른 닫힘은, A에 속하는 함수들로 구성된 함수열이 균등하게 수렴할 수 있는 모든 함수, 즉 A의 함수들로 근사할 수 있는 모든 함수들의 집합이 된다. 예를 들어 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 모든 $[a,b]$ 위의 연속함수는 $[a,b]$ 위의 다항함수들의 함수열로 근사될 수 있으므로, $[a,b]$ 위의 모든 연속함수로 구성된 집합은 $[a,b]$ 위의 모든 다항함수들의 집합에 대한 고른 닫힘이 된다.

성질

균등 노름이 상수 $c$인 모든 벡터들의 집합은 모서리의 길이가 $2c$인 초입방체의 면이 된다. 노름 기호에 $\infty$가 붙은 이유는 $f$가 연속이고 $p\in (0,\infty )$에 대해 $\Vert f\Vert _{p}<\infty$일 때 다음을 만족하기 때문이다.

$$\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty }$$

여기서

$$\|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}$$

이고, $D$는 $f$의 정의역이다.

같이 보기

• 균등 수렴
• 균등 수렴 위상
• 균등 연속 함수
• 균등 공간