리 미분

미분기하학에서, 리 미분(Lie微分, 영어: Lie derivative)은 매끄러운 다양체 위에서 아핀 접속 없이 정의될 수 있는, 텐서장의 미분 연산이다. 기호는 ${\mathcal {L}}$.

정의

리 미분은 임의의 텐서장 $T\in \Gamma \left((\mathrm {T} M)^{\otimes p}\otimes (\mathrm {T} ^{*}M)^{\otimes q}\right)$을, 임의의 벡터장 방향으로 미분하는 연산이다. 이는 추상적으로 일련의 공리들을 통해 정의될 수 있으며, 또 대신 구체적으로 국소 좌표계를 통해 정의될 수도 있다.

공리적 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위에 매끄러운 벡터장 $X\in \Gamma (\mathrm {T} M)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $X$방향으로의 리 미분

${\mathcal {L}}\colon \Gamma (\mathrm {T} M)\otimes _{\mathbb {R} }\Gamma \left((\mathrm {T} M)^{\otimes p}\otimes _{\mathbb {R} }(\mathrm {T} ^{*}M)^{\otimes q}\right)\to \Gamma \left((\mathrm {T} M)^{\otimes p}\otimes _{\mathbb {R} }(\mathrm {T} ^{*}M)^{\otimes q}\right)$

${\mathcal {L}}\colon X\otimes T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T$

은 임의의 매끄러운 $(p,q)$차 텐서장 $T$에 대하여 작용하여 매끄러운 $(p,q)$차 텐서장 ${\mathcal {L}}_{X}T$를 만드는 선형 변환이며, 다음 공리들을 만족시키는 유일한 연산이다.

• (함수의 리 미분) 함수((0,0)차 텐서) $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$에 대하여, 리 미분은 벡터장의 1차 미분 연산자로의 작용과 같다.

  ${\mathcal {L}}_{X}f=Xf$

• (함수 외미분과의 호환) 함수 $f$에 대하여, 리 미분은 외미분과 가환한다.

  ${\mathcal {L}}_{X}(\mathrm {d} f)=\mathrm {d} ({\mathcal {L}}_{X}f)$

• (텐서곱과의 호환) 리 미분은 텐서곱에 대하여 곱규칙을 따른다.

  ${\mathcal {L}}_{X}(T_{1}\otimes T_{2})=({\mathcal {L}}_{X}T_{1})\otimes T_{2}+T_{1}\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T_{2})$

• (축약과의 호환) 리 미분은 축약에 대하여 곱규칙을 따른다. 즉, 임의의 벡터장 $Y$와 $(p,q)$차 텐서장 $T$에 대하여 ($q>0$),

  ${\mathcal {L}}_{X}(T(Y,-))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y,-)+T({\mathcal {L}}_{X}Y,-)$

좌표 표현

아인슈타인 표기법을 사용하자. 국소 좌표계 $x^{\mu }$를 잡았을 때, 벡터 $X=X^{\mu }\partial _{\mu }$ 방향의, $(p,q)$차 텐서 $T_{\nu _{1}\nu _{2}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}$의 리 미분은 다음과 같다.

${\mathcal {L}}_{X}T_{\nu _{1}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}=X^{\rho }\partial _{\rho }T_{\nu _{1}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}-(\partial _{\rho }X^{\mu _{1}})T_{\nu _{1}\dots \nu _{q}}^{\alpha \mu _{2}\cdots \mu _{p}}-\cdots -(\partial _{\rho }X^{\mu _{p}})T_{\nu _{1}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p-1}\mu _{p}}+(\partial _{\nu _{1}}X^{\rho })T_{\rho \nu _{2}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}+\cdots +(\partial _{\nu _{q}}X^{\rho })T_{\nu _{1}\dots \nu _{q-1}\rho }^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}$

또한, 비틀림이 없는 아핀 접속 $\nabla$의 경우, 위의 편미분을 공변 미분으로 치환하여도 상관없다. 리 미분은 아핀 접속에 의존하지 않는다.

${\mathcal {L}}_{X}T_{\nu _{1}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}=X^{\rho }\nabla _{\rho }T_{\nu _{1}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}-(\nabla _{\rho }X^{\mu _{1}})T_{\nu _{1}\dots \nu _{q}}^{\alpha \mu _{2}\cdots \mu _{p}}-\cdots -(\nabla _{\rho }X^{\mu _{p}})T_{\nu _{1}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p-1}\mu _{p}}+(\nabla _{\nu _{1}}X^{\rho })T_{\rho \nu _{2}\dots \nu _{q}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}+\cdots +(\nabla _{\nu _{q}}X^{\rho })T_{\nu _{1}\dots \nu _{q-1}\rho }^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}$

스피너장의 리 미분

스핀 구조를 갖는 리만 다양체 $(M,g)$가 주어졌다고 하자. 그 위의 스피너 다발 $\mathrm {S} M$은 복소수 $2^{\lfloor \dim M/2\rfloor }$차원의 벡터 다발이다. 그렇다면, 스피너장 $\psi \in \Gamma (\mathrm {S} M)$의 리 미분은 다음과 같다.

${\mathcal {L}}_{X}\psi =\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(\mathrm {d} X^{\flat })\cdot \psi$

여기서

• $X^{\flat }=g(X,-)$는 벡터장(=(1,0)차 텐서장) $X$에 대응하는 1차 미분 형식(=(0,1)차 텐서장)이다.
• $\mathrm {d}$는 1차 미분 형식의 외미분이다.
• $\cdot$은 클리퍼드 대수의 곱이다.

국소 좌표계로 표기하면 이는 다음과 같다.

$({\mathcal {L}}_{X}\psi )^{i}=X^{\mu }\nabla _{\mu }\psi ^{i}-{\frac {1}{16}}\left(\nabla _{\mu }X_{\nu }-\nabla _{\nu }X_{\mu }\right)\left(\gamma ^{\mu i}{}_{j}\gamma ^{\nu j}{}_{k}-\gamma ^{\nu i}{}_{j}\gamma ^{\mu j}{}_{k}\right)\psi ^{k}$

여기서

• $\mu ,\nu \in \{1,\dots ,\dim M\}$는 접다발 $\mathrm {T} M$의 지표이다.
• $i,j,k\in \{1,\dots ,2^{\lfloor \dim M/2\rfloor }\}$는 스피너 다발 $\mathrm {S} M$의 (복소수 성분) 지표이다.
• $\gamma ^{\mu i}{}_{j}$는 디랙 행렬이다.

스피너장의 리 미분은 리만 다양체의 리만 계량에 의존하지 않는다.

만약 $X$가 킬링 벡터장이라면 (즉, $\nabla _{\mu }X_{\nu }=-\nabla _{\nu }X_{\mu }$), 이는 다음과 같이 더 간단해진다.

$({\mathcal {L}}_{X}\psi )^{i}=X^{\mu }\nabla _{\mu }\psi ^{i}-{\frac {1}{4}}(\nabla _{\mu }X_{\nu })\gamma ^{\mu i}{}_{j}\gamma ^{\nu j}{}_{k}\psi ^{k}$

일반화 리 미분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $B$와 $E$ 및 그 접다발 $\pi _{\mathrm {T} B}\colon \mathrm {T} B\twoheadrightarrow B$, $\pi _{\mathrm {T} E}\colon \mathrm {T} E\twoheadrightarrow E$
• 매끄러운 함수 $s\colon B\to E$
• $B$ 위의 벡터장 $X\in \Gamma (\mathrm {T} B)$
• $E$ 위의 벡터장 $Y\in \Gamma (\mathrm {T} E)$

그렇다면, $s$의, $(X,Y)$ 방향의 일반화 리 미분은 다음과 같은 매끄러운 함수이다.^{:377, §47.4}

${\tilde {\mathcal {L}}}_{X,Y}f\colon B\to \mathrm {T} E$

${\tilde {\mathcal {L}}}_{X,Y}f=\mathrm {T} f\circ X-Y\circ f$

이는 다음 조건을 만족시킨다.

${\tilde {\mathcal {L}}}_{tX,tY}s=t{\tilde {\mathcal {L}}}_{X,Y}s\qquad \forall t\in \mathbb {R}$

$\pi _{\mathrm {T} E}\circ {\mathcal {L}}_{X,Y}s=s$

즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

${\begin{matrix}B&{\xrightarrow {{\tilde {\mathcal {L}}}_{X,Y}s}}&\mathrm {T} E\\&{_{\!\!\!\!s}}\!\!\searrow \!\!{\color {White}\scriptstyle s\!\!\!\!}&{\scriptstyle \color {White}{\pi _{\mathrm {T} E}\!\!\!\!\!\!}}\downarrow \scriptstyle \pi _{\mathrm {T} E}\!\!\!\!\!\!\\&&E\end{matrix}}$

만약 $X$와 $Y$의 흐름이 각각

$\phi _{X}\colon (-\epsilon ,\epsilon )\times B\to B$

$\phi _{X}\colon (t,b)\mapsto \phi _{X,t}(b)$

$\phi _{Y}\colon (-\epsilon ,\epsilon )\times E\to E$

$\phi _{Y}\colon (t,e)\mapsto \phi _{Y,t}(e)$

라면, 다음이 성립한다.^{:377, §47.4}

${\mathcal {L}}_{X,Y}s=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\phi _{Y,-t}\circ s\circ \phi _{X,t})\right|_{t=0}$

올다발의 경우

특히, 올다발 $\pi _{E}\colon E\twoheadrightarrow B$가 주어졌으며, $B$와 $E$가 둘 다 매끄러운 다양체이며, $\pi _{E}$는 매끄러운 함수이며, 그 모든 올들이 서로 미분 동형인 매끄러운 다양체라고 하자. 또한, 그 단면 $s\in \Gamma _{B}(E)$이 주어졌다고 하자.

또한, 벡터장 $X\in \Gamma _{B}(\mathrm {T} B)$와 $Y\in \Gamma _{E}(\mathrm {T} E)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 미분

${\mathcal {L}}_{X,Y}s\colon B\to \mathrm {T} E$

를 정의할 수 있으며, 이는 올다발 $\pi _{E}\circ \pi _{\mathrm {T} E}\colon \mathrm {T} E\to B$의 단면이다.

추가로, 만약 다음이 성립한다고 하자.

$\mathrm {T} \pi _{E}\circ Y=X\circ \pi _{E}$

즉, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.

${\begin{matrix}E&{\xrightarrow {\pi _{E}}}&B\\{\scriptstyle Y}\downarrow {\scriptstyle \color {White}Y}&&{\scriptstyle \color {White}X}\downarrow \scriptstyle X\\\mathrm {T} E&{\xrightarrow[{\mathrm {T} \pi _{E}}]{}}&\mathrm {T} B\end{matrix}}$

이 조건이 성립하는 벡터장 $Y$를 사영 가능 벡터장(영어: projectable vector field)이라고 한다.^:§2 이러한 $Y$가 주어지면 $X$는

$X^{i}|_{\pi (e)}=(\mathrm {T} \pi )_{I}^{i}|_{e,\pi (e)}Y^{I}|_{e}\qquad (e\in E)$

로 재구성할 수 있다. 따라서, 이 경우 ${\mathcal {L}}_{X,Y}$를 ${\mathcal {L}}_{Y}$로 표기할 수 있다.

그렇다면, ${\tilde {\mathcal {L}}}_{Y}s$는 사실 수직 벡터 다발 $\mathrm {V} E\subseteq \mathrm {T} E$에 속함을 보일 수 있다.

${\tilde {\mathcal {L}}}_{Y}s\colon B\to \mathrm {V} E$

벡터 다발의 경우

특히, 위 경우에서 $\pi _{E}\colon E\twoheadrightarrow B$가 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 그 수직 벡터 다발은

$\mathrm {V} E=E\times _{B}E$

이며, 이 경우

${\tilde {\mathcal {L}}}_{Y}s=(s,{\mathcal {L}}_{Y}s)$

의 꼴이다. 이 경우, ${\mathcal {L}}_{Y}s\colon B\to E$는 $E$의 단면이며, 이를 $s$의 리 미분이라고 한다.^{:378, §47.5:Proposition 5.4}

성질

미분 동형 사상과의 관계

리 미분의 개념은 벡터장을 무한소 미분 동형 사상으로 간주하여 유도할 수 있다.

구체적으로, 매끄러운 다양체 위에 리 군 $\mathbb {R}$가 매끄럽게 작용한다고 하자.

$f\colon \mathbb {R} \times M\to M$

$f\colon (t,x)\mapsto f_{t}(x)$

$f_{0}(x)=x\qquad \forall x\in M$

$f_{s+t}(x)=f_{s}(f_{t}(x))\qquad \forall s,t\in \mathbb {R} ,\;x\in M$

그렇다면, 벡터장 $X^{i}\in \Gamma (\mathrm {T} M)$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$f_{t}(x)=x^{i}+tX^{i}(x)+O(t^{2})$

$(\mathrm {D} f)_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}+t\partial _{j}X^{i}$

이제, 임의의 벡터장 $T^{i}$ 및 매끄러운 함수 $g\colon M\to M$에 대하여 밂

$(g_{*}T)^{i}|_{g(x)}=(\mathrm {D} g|_{x})_{j}^{i}(T^{j}|_{x})$

를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 극한을 계산할 수 있다.

$\lim _{t\to 0}\left.{\frac {(f_{-t}{}_{*}T)^{i}-T^{i}}{t}}\right|_{x}$

$=\lim _{t\to 0}{\frac {(\delta _{j}^{i}-t\partial _{j}X^{i})|_{x}T^{j}|_{f_{t}(x)}-T^{i}|_{x}}{t}}$

$=\lim _{t\to 0}{\frac {(\delta _{j}^{i}-t\partial _{j}X^{i})|_{x}(T^{j}|_{x}+tX^{k}\partial _{k}T^{j}|_{x})-T^{i}|_{x}}{t}}$

$=\left(X^{k}\partial _{k}T^{i}-(\partial _{j}X^{i})T^{j}\right)|_{x}=-({\mathcal {L}}_{X}T)^{i}|_{x}$

마찬가지로, 임의의 1차 미분 형식 $V_{i}$에 대하여, 당김

$(g^{*}V)_{i}|_{x}=(\mathrm {D} g|_{x})_{i}^{j}(V_{j}|_{g(x)})$

을 정의할 수 있으며, 다음과 같은 극한을 계산할 수 있다.

$\lim _{t\to 0}\left.{\frac {(f_{t}^{*}V)_{i}-V_{i}}{t}}\right|_{x}$

$=\lim _{t\to 0}{\frac {(\delta _{i}^{j}+t\mathrm {D} f)_{i}^{j}|xV_{j}|_{f_{t}(x)}-V_{i}|_{x}}{t}}$

$=\lim _{t\to 0}{\frac {\left(\delta _{i}^{j}+t\partial _{i}X^{j}|_{x}\right)(V_{j}|_{x}+tX^{k}\partial _{k}V_{j})-V_{i}|_{x}}{t}}$

$=(\partial _{i}X^{j})V^{j}+X^{k}\partial _{k}V_{i}=({\mathcal {L}}_{X}V)_{i}$

함수의 리 미분

함수 $f$에 대하여, 리 미분은 그냥 단순한 미분이다. 즉,

${\mathcal {L}}_{X}f=Xf=X^{\mu }\partial _{\mu }f$

이다.

벡터의 리 미분

벡터장의 경우, 리 미분은 리 괄호가 된다.

${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$

이 경우, 야코비 항등식에 따라 리 미분은 리 괄호에 대해 곱규칙을 따른다.

${\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]$

미분 형식의 리 미분

$n$차 미분 형식 $\omega$는 $(0,n)$차 텐서로 간주하여 그 리 미분을 정의할 수 있다. 이 경우, 리 미분은 다음과 같이 주어진다. 이 공식을 카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, 영어: Cartan’s magic formula)이라고 한다.

${\mathcal {L}}_{X}\omega =X\lrcorner d\omega +d(X\lrcorner \omega )$

여기서 $\lrcorner$는 내부곱(영어: interior product)을 나타낸다.

$(X_{1}\lrcorner \omega )(X_{2},\dots ,X_{n})=\omega (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$

미분 형식에 대하여, 리 미분은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )={\mathcal {L}}_{X}\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge {\mathcal {L}}_{X}\beta$

$[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha$

$[{\mathcal {L}}_{X},Y\lrcorner ]\alpha =[X\lrcorner ,{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =[X,Y]\lrcorner \alpha$

대칭 (0,2)차 텐서장

대칭 (0,2)차 텐서장 $g_{\mu \nu }$ (예를 들어, 리만 계량)의 경우,

$({\mathcal {L}}_{X}g)_{\mu \nu }=X^{\rho }\partial _{\rho }g_{\mu \nu }+g_{\mu \rho }\partial _{\nu }X^{\rho }+g_{\nu \rho }\partial _{\mu }X^{\rho }$

이다.

특히, 만약 리만 계량 $g$로 유도되는 아핀 접속을 사용할 경우, $\nabla _{\mu }g_{\rho \sigma }=0$이며, 따라서

$({\mathcal {L}}_{X}g)_{\mu \nu }=\nabla _{\nu }X_{\mu }+\nabla _{\mu }X_{\nu }$

이다. 위 표현이 0이 되게 하는 벡터장 $X$를 $g$의 킬링 벡터장이라고 한다.

역사

1931년에 폴란드의 수학자 브와디스와프 실레보진스키가 도입하였다. 다비트 판 단지흐(네덜란드어: David van Danzig, 1900~1959)가 1932년에 소푸스 리의 이름을 따 이 연산을 "리 미분"(독일어: Liesche Ableitung)이라고 명명하였다.^{:536, §3} 판 단치흐는 이 연산을 ${\underset {D}{L}}$로 표기하였다.

이와 독자적으로, 벨기에의 물리학자 레옹 로젠펠드(프랑스어: Léon Rosenfeld, 1904~1974)는 일반 상대성 이론을 다루는 동안 이와 유사한 연산을 도입하였다. 로젠펠드는 이를 "국소 변화"(프랑스어: variation locale)이라고 불렀으며, $\delta ^{*}$로 표기하였는데, 이는 오늘날의 $-{\mathcal {L}}_{X}$와 사실상 같다.^:§3

1963년에 앙드레 리크네로비츠(프랑스어: André Lichnerowicz)가 스피너장의, 킬링 벡터장 방향의 리 미분을 정의하였고, 이후 1972년에 이베트 코스만슈와르즈바크(프랑스어: Yvette Kosmann-Schwarzbach)가 이를 임의의 벡터장 방향에 대하여 일반화하였다.

바깥 고리

• “Lie derivative”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie differentiation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie derivative”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Spinor Lie derivative”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Lie derivative”. 《nLab》 (영어). 
• “What is the origin of the formula for the Lie derivative along a Killing vector?” (영어). Math Overflow.