수직 벡터 다발

미분기하학에서 수직 벡터 다발(垂直vector-, 영어: vertical vector bundle)은 올다발의 접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.

반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 에레스만 접속이라고 한다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 올다발

$\pi \colon E\twoheadrightarrow M$

이 주어졌다고 하고, $E$ 및 $E$의 각 올이 매끄러운 다양체를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분

$\mathrm {T} \pi \colon \mathrm {T} E\twoheadrightarrow \mathrm {T} M$

을 정의할 수 있다. 그렇다면, $E$ 위에 다음과 같은 수직 벡터 다발 $\mathrm {V} E$를 정의할 수 있다.

$\mathrm {V} E=\ker(\mathrm {T} \pi )$

즉,

$\mathrm {V} _{e}E=\mathrm {T} _{e}(E_{\pi (e)})\qquad \forall e\in E$

$\forall u\in T_{\mathrm {e} }E\colon \left(u\in \mathrm {V} _{e}E\iff \forall (\gamma \colon \mathbb {R} \to E,\;\gamma (0)=e)\colon {\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(0)=u\implies {\frac {\mathrm {d} (\pi \circ \gamma )}{\mathrm {d} t}}(0)=0\right)$

즉, 벡터 다발 $V$의 $e\in E$에서의 올은 $E$의 올의 접공간이다.

$E$ 위의 벡터장 $X$에 대하여, 만약 $X\in \Gamma (\mathrm {T} E)$라면 (즉, 만약 모든 $x\in M$에 대하여 $X_{x}\in \mathrm {V} _{e}E$라면) $X$를 수직 벡터장(垂直vector場, 영어: vertical vector field)이라고 한다. 마찬가지로, $E$ 위의 $p$차 미분 형식 $\alpha \in \Omega ^{p}(E)$에 대하여, 만약

$\alpha (X_{1},X_{2},\dots ,X_{p})=0\qquad \forall X_{1},\dots ,X_{p}\in \Gamma (\mathrm {V} E)$

라면, $\alpha$를 수평 미분 형식(水平微分形式, 영어: horizontal differential form)이라고 한다.

성질

수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열

$0\to \mathrm {V} E\hookrightarrow \mathrm {T} E\;{\overset {\pi ^{*}\mathrm {T} \pi }{\twoheadrightarrow }}\;\pi ^{*}\mathrm {T} M\to 0$

이 존재한다. 이를 아티야 완전열(Atiyah完全列, 영어: Atiyah exact sequence)이라고 한다. (여기서 $\pi ^{*}\mathrm {T} \pi \colon (e,u)\mapsto (e,\mathrm {T} \pi (u))$이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 분할 완전열이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다. $E$ 위의 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.

예

자명한 올다발

두 매끄러운 다양체 $M$과 $F$가 주어졌고, $E=M\times F$를 $M$ 위의 올다발로 여기자.

$F{\xleftarrow {\operatorname {proj} _{2}}}E{\xrightarrow {\operatorname {proj} _{1}}}M$

이 경우, 자연스럽게

$\mathrm {T} _{(m,f)}E=\mathrm {T} _{m}M\oplus \mathrm {T} _{f}F\qquad (\forall m\in M,\;,f\in F)$

이며, 수직 벡터 다발 $\mathrm {V} E$는 다음과 같다.

$\mathrm {V} E=\operatorname {proj} _{2}^{*}\mathrm {T} F\subseteq \mathrm {T} E$

(이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발" $\operatorname {proj} _{1}^{*}\mathrm {T} M\subseteq \mathrm {T} E$ 역시 존재한다. 그러나 이는 임의의 올다발에 대하여 성립하지 않는다.)

주다발

리 군 $G$에 대하여, $\pi \colon E\twoheadrightarrow M$가 $G$-주다발이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발 $\mathrm {V} E$는 리 대수 ${\mathfrak {g}}=\mathrm {T} _{1}G$에 대한 자명한 벡터 다발과 동형이다.

$\mathrm {V} E\cong {\mathfrak {g}}\times E$

구체적으로, 우선, 임의의 $m\in M$에 대하여, $G$의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

$X\colon {\mathfrak {g}}\to \Gamma (\mathrm {T} P)$

$X\colon x\mapsto X_{x}$

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, $X$의 상은 $P$의 수직 벡터 다발 $\mathrm {V} P=\ker(\mathrm {T} \pi )\subseteq \mathrm {T} P$과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

$P\times {\mathfrak {g}}\to \mathrm {V} P$

를 정의한다. (좌변은 올이 ${\mathfrak {g}}$인 자명한 벡터 다발이다.)

벡터 다발

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow M$이 주어졌다고 하자. 이 경우, $E$의 수직 벡터 다발은 스스로의 당김 $\pi ^{*}E=E\times _{M}E$와 표준적으로 동형이다.^{:55, §6.11}

$\mathrm {V} E\cong \pi ^{*}E=E\times _{M}E$

참고 문헌

• Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, topology and physics》 (영어) 2판. Taylor & Francis. doi:10.1201/9781420056945. ISBN 978-0-7503-0606-5.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Marle, Charles-Michel (2007). 〈The works of Charles Ehresmann on connections: from Cartan connections to connections on fibre bundles〉. 《Geometry and Topology of Manifolds, May 2005, Będlewo, Poland》. Banach Center Publications (영어) 76. 바르샤바: Polish Academy of Sciences. 65–86쪽. arXiv:1401.8272. Bibcode:2014arXiv1401.8272M. 

외부 링크

• “Vertical vector field”. 《nLab》 (영어). 
• “Horizontal differential form”. 《nLab》 (영어). 
• “Geometric interpretation of horizontal and vertical lift of vector field” (영어). Math Overflow.