에탈 코호몰로지

대수기하학에서, 에탈 코호몰로지(영어: étale cohomology)는 스킴 위에서 정의되는 코호몰로지이다. 스킴의 경우, 자리스키 위상을 사용하면 표준적인 코호몰로지 이론(특이 코호몰로지, 체흐 코호몰로지)들은 잘 작동하지 않는데, 에탈 코호몰로지는 이러한 단점들을 보완한다.

정의

스킴 $X$에 대하여, 작은 에탈 위치(영어: small étale site)$\operatorname {{\acute {E}}t} /X$는 위치(그로텐디크 위상을 갖춘 범주)이다. 범주로서, $\operatorname {{\acute {E}}t} /X$의 대상들은 $X$를 공역으로 하는 에탈 사상 $Y\to X$들이며, 사상들은 이와 호환되는 사상들 $Y\to Y'$이다. 이 위의 그로텐디크 위상은 에탈 사상들의 전사 집합들 $U_{i}\to U$을 덮개로 삼는다.

범주 ${\mathcal {C}}$ 값을 갖는 $X$ 위의 에탈 준층(영어: étale presheaf)은 함자 $(\operatorname {{\acute {E}}t} /X)^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}$이다. 에탈 층(영어: étale sheaf)은 층 공리를 만족시키는 에탈 준층이다. ${\mathcal {C}}$ 값을 갖는, $X$ 위의 에탈 층들의 범주를 $\operatorname {Sh} (\operatorname {{\acute {E}}t} /X,{\mathcal {C}})$라고 쓰자.

아벨 군 값을 갖는, $\operatorname {{\acute {E}}t} /X$ 위의 에탈 층 ${\mathcal {F}}\colon (\operatorname {{\acute {E}}t} /X)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab}$의 에탈 코호몰로지 군 $H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{i}(X,{\mathcal {F}})$는 단면 함자(영어: section functor)

$\Gamma \colon \operatorname {Sh} (\operatorname {{\acute {E}}t} /X,\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Ab}$

$\Gamma \colon {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(\operatorname {id} _{X})$

의 오른쪽 $i$번째 유도 함자이다.

$H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{i}(X,{\mathcal {F}})=R^{i}\Gamma ({\mathcal {F}})$

특히,

$H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{0}=\Gamma$

이다.

스킴 $X$ 및 아벨 군 $G$가 주어졌을 때, $X$의 $G$ 계수를 갖는 에탈 코호몰로지 군 $H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{i}(X,G)$는 상수층 ${\underline {G}}$의 에탈 코호몰로지 군 $H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{i}(X;{\underline {G}})$이다. (다만, $G=\mathbb {Z} _{\ell }$일 때, 통상적으로 $H^{i}(X;\mathbb {Z} _{\ell })$은 $H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{i}(X;{\underline {\mathbb {Z} _{\ell }}})$과 다른, ℓ진 코호몰로지를 나타낸다.)

ℓ진 코호몰로지

ℓ진 코호몰로지(영어: ℓ-adic cohomology)는 유한체에 대한 대수다양체에 대하여 널리 사용되는 코호몰로지로, 에탈 코호몰로지를 약간 변형한 것이다. 이 경우, $\ell$은 유한체의 표수 $p$와 다른 소수이다.

소수 $\ell$에 대하여, 대수다양체 $V$의 $\ell$진 코호몰로지 군 $H^{i}(V;\mathbb {Z} _{\ell })$은 다음과 같은 역극한이다.

$H^{i}(V;\mathbb {Z} _{\ell })=\varprojlim H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{i}(V;\mathbb {Z} /\ell ^{k}\mathbb {Z} )$

여기서 역극한은 코호몰로지와 가환하지 않는다. 즉, $H^{i}(V;\mathbb {Z} _{\ell })$는 $\ell$진 정수 $\mathbb {Z} _{\ell }$의 상수층의 코호몰로지와 일반적으로 다르다.

성질

$X$가 비특이 복소 대수다양체이고, $X^{\operatorname {an} }$이 대응하는 복소다양체라고 하자. 그렇다면, 유한체 $\mathbb {F} _{p}$ 계수의 에탈 코호몰로지는 특이 코호몰로지와 일치한다.

$H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{p})\cong H^{\bullet }(X^{\operatorname {an} };\mathbb {F} _{p})$

마찬가지로, $p$진 코호몰로지는 p진 정수 $\mathbb {Z} _{p}$ 계수의 특이 코호몰로지와 일치한다.

$H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }(X;\mathbb {Z} _{p})\cong H^{\bullet }(X^{\operatorname {an} };\mathbb {Z} _{p})$

하지만 정수 계수의 에탈 코호몰로지는 일반적으로 특이 코호몰로지와 다르다.

체 $K$에 대하여, 그 스펙트럼 $\operatorname {Spec} K$의 에탈 코호몰로지는 그 갈루아 코호몰로지와 일치한다.

$H_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\bullet }(\operatorname {Spec} K;\mathbb {Z} )\cong H^{\bullet }(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K))$

여기서 $\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)$는 $K$의 절대 갈루아 군이며, $K^{\operatorname {sep} }$는 $K$의 분리 가능 폐포(영어: separable closure)이며, 우변의 $H^{\bullet }$는 군 코호몰로지이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가, 유한체에 대한 대수다양체에 대한 일련의 추측들인 베유 추측을 증명하기 위하여 1960년에 도입하였다.

참고 문헌

• Deligne, Pierre (1977). 《Cohomologie étale (Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 4½)》 (PDF). Lecture notes in mathematics 569. Springer. doi:10.1007/BFb0091516. ISBN 978-0-387-08066-6. 
• Tamme, Günter (1994). 《Introduction to étale cohomology》. Universitext. Manfred Kolster 역. Springer. doi:10.1007/978-3-642-78421-7. ISBN 978-3-540-57116-2. ISSN 0172-5939. Zbl 0815.14012. 
• Freitag, Eberhard; Reinhardt Kiehl (1988). 《Etale cohomology and the Weil conjecture》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 13. Springer. doi:10.1007/978-3-662-02541-3. ISBN 978-3-662-02543-7. ISSN 0071-1136. 

바깥 고리

• “Etale cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Milne, James S. (2013년 3월 22일). “Lectures on étale cohomology”. 
• Ducros, Antoine (2011). “Étale cohomology of schemes and analytic spaces”. arXiv:1101.0683. Bibcode:2011arXiv1101.0683D. 
• “Etale cohomology”. 
• “Comparison theorem (étale cohomology)”.