전사 함수

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전사 함수의 예

수학에서, 전사 함수(全射函數, 영어: surjection, surjective function)는 공역치역이 같은 함수이다.

정의[편집]

집합 X, Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전사 함수라고 한다.

성질[편집]

임의의 함수 f\colon X\to Y, g\colon Y\to Z가 주어졌다고 하자.

  • 만약 fg가 둘 다 전사 함수라면, g\circ f 역시 전사 함수이다.
  • 만약 g\circ f가 전사 함수라면, g 역시 전사 함수이다. 하지만 f가 전사 함수일 필요는 없다.

두 집합 X, Y에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 전사 함수 f\colon X\to Y가 존재하거나, 아니면 Y=\varnothing이다.
  • |X|\ge|Y|이다. 여기서 |\cdot|집합의 크기이다.

공역크기가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)

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정의역과 공역이 둘 다 실수 집합 \mathbb R인 함수

\mathbb R\to\mathbb R
x\mapsto x^2

는 전사 함수가 아닌데, x^2=-1인 실수 x가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 만약 공역이 \mathbb R 대신, 음이 아닌 실수의 집합 [0,\infty)이라면, 함수

\mathbb R\to[0,\infty)
x\mapsto x^2

는 전사 함수이다.

역사[편집]

유럽 언어에서 쓰이는 용어 영어: surjection 서젝션[*], 프랑스어: surjection 쉬르젝시옹[*] 등은 단사를 뜻하는 영어: injection 인젝션[*], 프랑스어: injection 앵젝시옹[*]에서, 접두사 라틴어: in [*](안으로)을 프랑스어: sur 쉬르[*](위로)로 치환한 것이다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]