전사함수

전사함수의 예.

전사함수(全射函數, surjection, 또는 surjective function)는 임의의 공역의 원소에 대응하는 정의역이 원소가 한 개 이상 존재하는, 즉 공역과 치역이 같은 함수를 말한다.

형식적인 정의는, 함수 f: X → Y가 전사함수일 필요충분조건은 공역 Y에 속하는 임의의 원소 y에 대하여 정의역 X에 최소한 하나의 원소 x가 f(x) = y을 만족한다.

성질

• 전사 함수와 전사 함수의 합성함수는 전사함수이다.
• $g \circ f$가 전사함수이면, $g$도 전사함수이다. 하지만 $f$가 전사일 필요는 없다.

예

정의역과 공역이 R → R인 함수 g(x) = x² 는 전사함수가 아닌데, x² = −1을 만족하는 실수 x가 없기 때문이다. 그러나 만약 공역이 R이 아닌 양의 실수 R⁺이라면, 함수 g(x) = x²는 전사함수이다. 이 경우 언제나 x² = y를 만족하는 실수 x가 존재하기 때문이다.

같이 보기

• 단사함수
• 전단사함수