K3 곡면: 두 판 사이의 차이

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2013년 7월 27일 (토) 11:08 판

대수기하학과 미분기하학에서, K3 곡면(K3 surface)은 원환면이 아니고, 정준 다발이 자명하고, 호지 수 $h^{0,1}=0$ 인 2차원 완전 곡면이다. 복소수체가 아닌 다른 체에 대해서도 K3 곡면을 정의할 수 있다.

역사와 어원

앙드레 베유가 1958년에 명명하였다.^[1]^:546 베유는 "K3"라는 이름을 다음과 같이 설명하였다.

보고서 제2부에서는 이런 켈러 다양체를 "K3"라고 부르겠다. 이는 쿠머와 켈러, 고다이라와 카슈미르의 아름다운 K2 산을 기리기 위한 것이다.
Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

여기서 에른스트 쿠머와 에리히 켈러, 고다이라 구니히코는 모두 이름의 머릿글자가 "K"인 세 명의 유명한 대수기하학자들이다.

성질

복소수체에서, 모든 K3 곡면은 서로 미분동형이다. 즉, 복소 K3 곡면은 매끈한 다양체로서 유일하지만, 이 다양체 위에 서로 다른 복소 구조들이 존재할 수 있다. 이 모듈러스 공간은 그 구조가 완전히 알려져 있다.

복소 K3 곡면은 칼라비-야우 다양체이며,^[2] 원환면이 아닌 유일한 복소 2차원 (실수 4차원) 컴팩트 칼라비-야우 다양체이다. SU(2)=USp(2)이므로, K3 곡면은 초켈러 다양체이다. K3 곡면은 고다이라 차원이 0이며, 그 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

모듈러스

K3 곡면은 57개의 복소 모듈러스와 1개의 켈러 모듈러스를 가진다. 여기서 57=3×19개의 복소 모듈러스는 다음과 같이 해석할 수 있다. K3 곡면의 2차 베티 수는 22인데, 그 중 3개는 호지 쌍대에 대하여 고유값이 +1인 2차 조화 형식으로, 19개는 고유값이 −1인 2차 조화 형식으로 나타낼 수 있다. 복소 모듈러스의 변화는 2차 코호몰로지 동치류들 사이의 선형변환으로 나타낼 수 있으므로, 복소 모듈러스 공간은 대략

SO(3,19)/(SO(19)×SO(3))

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 공간의 차원은 19×3이다.

좀 더 정확히 말하면, K3의 복소 모듈러스 공간은 다음과 같은 오비폴드다.

SO(3,19;ℤ)\SO(3,19)/(SO(19)×SO(3))

K3의 유일한 켈러 모듈러스는 K3의 크기를 나타낸다. 즉, K3의 총 모듈러스 공간은

ℝ⁺×(SO(3,19;ℤ)\SO(3,19)/(SO(19)×SO(3)))

이다.

응용

K3 곡면은 비교적 다루기 쉬운 칼라비-야우 다양체이므로, 끈 이론을 축소화할 때 쓰인다.^[3] K3에 축소화한 끈 이론에는 다음과 같은 이중성들이 존재한다.

(타원 다발 구조를 갖춘) K3에 축소화한 F이론 = T²에 축소화한 잡종 끈 이론
K3에 축소화한 M이론 = T³에 축소화한 잡종 끈 이론
K3에 축소화한 IIA종 끈 이론 = T⁴에 축소화한 잡종 끈 이론
K3×S¹에 축소화한 IIB종 끈 이론 = T⁵에 축소화한 잡종 끈 이론

특히, K3 곡면의 모듈러스들을 M이론-잡종 끈 이론 이중성을 사용하여 해석할 수 있다. SO(n,16+n,ℤ)\SO(n,16+n)/(SO(n)×SO(16+n)는 Tⁿ에 축소화한 잡종 끈 이론의 모듈러스이다. (이는 잡종 끈 이론의 보손 정의(bosonic construction)에서 사용하는 격자의 모듈러스다.) 켈러 모듈러스는 잡종 끈 이론의 딜라톤에 해당한다.

참고 문헌

↑ Weil, André (1958). 〈Final report on contract AF 18(603)-57〉. 《Scientific works. Collected papers》 II. Berlin, New York: Springer-Verlag. 390–395, 545–547쪽. ISBN 978-0-387-90330-9. MR 537935.
↑ Siu, Y. T. (1983). “Every K3 surface is Kähler”. 《Inventiones Mathematicae》 73 (1): 139–150. Bibcode:1983InMat..73..139S. doi:10.1007/BF01393829. MR 707352. Zbl 557.32004.
↑ Aspinwall, Paul S. (1996). “K3 Surfaces and String Duality”. arXiv:hep-th/9611137. Bibcode:1996hep.th...11137A.

Dolgachev, Igor V.; Shigeyuki Kondō (2007). 〈Moduli spaces of K3 surfaces and complex ball quotients〉. 《Arithmetic and Geometry Around Hypergeometric Functions. Lecture Notes of a CIMPA Summer School held at Galatasaray University, Istanbul, 2005》. Progress in Mathematics 260. Basel: Birkhäuser. 43–100쪽. arXiv:math/0511051. Bibcode:2005math.....11051D. doi:10.1007/978-3-7643-8284-1_3. MR 2306149. Zbl 1124.14032.
Laza, Radu; Matthias Schütt, Noriko Yui (2013년 5월). 《Arithmetic and Geometry of K3 Surfaces and Calabi–Yau Threefolds》. Fields Institute Communications 67. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-6403-7. ISBN 978-1-4614-6402-0. ISSN 069-5265 |issn= 값 확인 필요 (도움말).
Gritsenko, V.; K. Hulek, G.K. Sankaran (2011). “Moduli of K3 surfaces and irreducible symplectic manifolds”. arXiv:1012.4155. Bibcode:2010arXiv1012.4155G.

[1] Weil, André (1958). 〈Final report on contract AF 18(603)-57〉. 《Scientific works. Collected papers》 II. Berlin, New York: Springer-Verlag. 390–395, 545–547쪽. ISBN 978-0-387-90330-9. MR 537935.

[2] Siu, Y. T. (1983). “Every K3 surface is Kähler”. 《Inventiones Mathematicae》 73 (1): 139–150. Bibcode:1983InMat..73..139S. doi:10.1007/BF01393829. MR 707352. Zbl 557.32004.

[3] Aspinwall, Paul S. (1996). “K3 Surfaces and String Duality”. arXiv:hep-th/9611137. Bibcode:1996hep.th...11137A.

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[2]

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