표준 선다발

수학에서 매끈한 $n$차원 대수다양체 $V$의 표준 선다발(標準線-, 영어: canonical line bundle) 또는 표준선속(標準線束) $\omega$는 여접다발의 $n$차 외승인 선다발이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\Omega^n = \omega$.

여기서 $\Omega$은 $V$위의 여접다발이며, $n$승은 외대수의 외적에 대한 것이다.

예

$n$복소차원 복소 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발(determinant bundle)이라고 하며, $n$차 정칙 미분형식들의 선다발이다.

표준 모임

표준 모임(영어: canonical class)은 $V$위의 카르티에 나눔자 $K$의 나눔자 모임이다. 이는 $V$위의 선형 동치의 동치 모임이고, 그 위의 어떤 나눔자도 표준 나눔자라고 부른다. 반표준 나눔자는 임의의 나눔자 $-K$로 $K$는 표준 나눔자이다. 반표준 다발은 반표준 나눔자에 대한 다발 $\omega^{-1}$이다.

특이점이 있는 다양체 $X$에 대해, 표준 나눔자를 정의하는 방법은 여러 가지가 있다. 만약 다양체가 보통이면, 여차원이 1차원인 매끈한 나눔자이다. 특히 매끈한 자취에 표준 나눔자를 정의할 수 있다. 이는 $X$위의 유일한 베유 나눔자 모임이다. $K_X$로 표기하는 이 모임을 $X$위의 표준 나눔자라고 한다.

또 다른 방법으로 , 보통 다양체 $X$위에, $X$의 세르 쌍대성에 대해 이중화 복합체(dualizing complex)위에서 규격화(normalization)된 $-d$차 코호몰로지 $h^{-d}(\omega^._X)$를 생각할 수 있다. 이 층은 베유 나눔자 모임에 해당하며, 앞서 정의한 나눔자 모임 $K_X$과 같다. 규격화할 수 없다고 하더라도, 만약 $X$ 가 1차원 $S2$이고 고렌슈타인이면 똑같은 결과가 성립한다.

같이 보기

• 첨가공식 (대수기하)