특이 호몰로지: 두 판 사이의 차이
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== 정의 == |
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<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며, <math>R</math>가 (1을 갖는) [[환 (수학)|환]]이라고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의, <math>R</math> 계수의 특이 호몰로지 군은 다음과 같이 정의된다. |
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=== 특이단체 === |
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:<math>\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}</math>. |
:<math>\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}</math>. |
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이는 [[선분]]과 [[삼각형]], [[정사면체|사면체]]를 일반화한 것이다. |
이는 [[선분]]과 [[삼각형]], [[정사면체|사면체]]를 일반화한 것이다. |
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<math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''특이 단체'''(特異單體, {{llang|en|singular complex}})는 [[연속 함수]] |
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:<math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math> |
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를 뜻한다. <math>X</math> 위의, <math>R</math> 계수의 <math>n</math>차원 '''사슬'''({{llang|en|chain}})은 모든 <math>n</math>차원 특이 단체로 의하여 생성되는, <math>R</math> 위의 왼쪽 [[자유 가군]]의 원소다. 이 자유 가군을 <math>C_n(X;R)</math>라고 쓰자. (만약 <math>R=\mathbb Z</math>일 경우, 이는 [[자유 아벨 군]]이 된다.) |
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=== 경계 |
=== 경계 === |
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표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 꼭짓점들을 <math>p_1,\dots,p_n</math>이라고 하자. 표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 <math>n+1</math>개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어 |
표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 꼭짓점들을 <math>p_1,\dots,p_n</math>이라고 하자. 표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 <math>n+1</math>개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어 |
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:<math>[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]</math> |
:<math>[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]</math> |
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<math>n</math>차원 특이 단체 <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>의 '''경계'''(境界, {{ |
<math>n</math>차원 특이 단체 <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>의 '''경계'''(境界, {{llang|en|boundary}}) <math>\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X;R)</math>는 다음과 같다. |
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:<math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}</math>. |
:<math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}</math>. |
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경계 연산자 <math>\partial_n</math>는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 <math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>이다. 이는 [[ |
경계 연산자 <math>\partial_n</math>는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 <math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>이다. 이는 <math>R</math> 위의 [[가군]]의 [[가군 준동형]]을 이룬다. 또한, <math>\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)</math>는 항상 0이다. 따라서 <math>(C_\bullet(X),\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 [[호몰로지]] |
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:<math>H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math> |
:<math>\operatorname H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math> |
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들을 '''특이 호몰로지'''라고 한다. |
들을 '''특이 호몰로지'''라고 한다. 이는 <math>R</math> 위의 왼쪽 [[가군]]을 이룬다. (사슬 가군은 [[자유 가군]]이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.) |
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=== 특이 코호몰로지 === |
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[[아벨 군]]은 [[환 (수학)|환]] <math>\mathbb Z</math>에 대한 자유 [[가군]]이다. 환 <math>\mathbb Z</math>를 다른 일반적인 (1을 포함하는) 환 <math>R</math>로 대체하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 <math>C_\bullet(X,R)</math>은 자유 <math>R</math>-가군이 되고, <math>H_\bullet(X,R)</math>은 (일반적으로 자유롭지 않은) <math>R</math>-가군이 된다. |
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== 특이 코호몰로지 == |
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:<math>\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1})</math>. |
:<math>\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1})</math>. |
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<math>(C^\bullet(X),\delta_\bullet)</math>은 [[공사슬 복합체]]를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 [[코호몰로지]] |
<math>(C^\bullet(X;R),\delta_\bullet)</math>은 [[공사슬 복합체]]를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 [[코호몰로지]] |
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:<math>H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}</math> |
:<math>\operatorname H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}</math> |
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들을 '''특이 코호몰로지'''({{ |
들을 '''특이 코호몰로지'''({{llang|en|singular cohomology}})라고 한다. |
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== 예 == |
== 예 == |
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=== 초구 === |
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<math>n</math>차원 [[ |
<math>n</math>차원 [[초구]] <math>S^n</math>의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다. |
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:<math>H_0(S^0)=\mathbb Z^2</math>, <math>H_k(S^0)=0</math> (<math>k>0</math>) |
:<math>H_0(S^0)=\mathbb Z^2</math>, <math>H_k(S^0)=0</math> (<math>k>0</math>) |
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:<math>H_0(S^n)=H_n(S^n)=\mathbb Z</math>, <math>H_k(S^0)=0</math> (<math>0<k\ne n</math>) |
:<math>H_0(S^n)=H_n(S^n)=\mathbb Z</math>, <math>H_k(S^0)=0</math> (<math>0<k\ne n</math>) |
2015년 5월 4일 (월) 07:50 판
대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.
정의
가 위상 공간이며, 가 (1을 갖는) 환이라고 하자. 그렇다면, 의, 계수의 특이 호몰로지 군은 다음과 같이 정의된다.
사슬
차원 표준 단체(標準單體, 영어: standard simplex) 은 다음과 같다.
- .
위의 차원 특이 단체(特異單體, 영어: singular complex)는 연속 함수
를 뜻한다. 위의, 계수의 차원 사슬(영어: chain)은 모든 차원 특이 단체로 의하여 생성되는, 위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을 라고 쓰자. (만약 일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)
경계
표준 단체 의 꼭짓점들을 이라고 하자. 표준 단체 의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
의 꼴이다. 이를 편의상
로 쓰자.
차원 특이 단체 의 경계(境界, 영어: boundary) 는 다음과 같다.
- .
경계 연산자 는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 이다. 이는 위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한, 는 항상 0이다. 따라서 은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지
들을 특이 호몰로지라고 한다. 이는 위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)
특이 코호몰로지
위의 공사슬(共-, 영어: cochain)은 가군 준동형 이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, 으로 쓴다. 공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary) 은 다음과 같다.
- .
은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지
들을 특이 코호몰로지(영어: singular cohomology)라고 한다.
예
초구
차원 초구 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- , ()
- , ()
원환면
차원 원환면 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- .
여기서 는 이항계수로, 인 경우 0으로 정의한다.
사영 공간
복소 사영 공간 의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
- (, )
- ( 또는 )
참고 문헌
- Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press. 108쪽. ISBN 0-521-79540-0.
- 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5.