준반사

선형대수학과 군론에서 준반사(準反射, 영어: pseudoreflection 슈도리플렉션^[*])는 유한 차원 벡터 공간 위의, 고정점 공간의 여차원이 1인 멱일 자기 선형 변환이다. 유클리드 공간에서의 반사의 개념을 실수체 대신 임의의 체에 대하여 일반화한 것이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 준반사는 다음과 같은 자기 선형 변환 $f\colon V\to V$이다.

• 멱일원이다. 즉, $f^{r}=\operatorname {id}$인 양의 정수 $r\in \mathbb {N}$이 존재한다.
• 고정점 부분 벡터 공간 $V^{f}=\{v\in V\colon fv=v\}\subseteq V$의 여차원은 1이다.

여기서 $f^{r}=1$이 되는 최소의 양의 정수 $r$는 $f$의 차수(영어: order)라고 한다. 이는 항상 2 이상의 양의 정수이다 (1일 경우, 여차원이 0이 된다).

성질

차수

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 준반사 $f$의 차수 $r\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.

• $\operatorname {char} K>0$이며, $r=2$이다.
• $\{a\in K\colon a^{r}=1\}\supsetneq \{1\}$이다.

즉, 특히 실수체 $K=\mathbb {R}$일 경우, 표수 0이며, 1의 거듭제곱근이 ±1 밖에 없으므로, 준반사의 차수는 항상 2이다. 즉, 이 경우 준반사의 개념은 기초 기하학에서의 반사의 개념과 동치이다.

반면, 예를 들어 복소수체의 경우, 준반사의 차수는 2 이상의 임의의 양의 정수가 될 수 있다.

고윳값

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 준반사 $f$의 차수가 $r$이라고 하자. 만약 $f$가 대각화될 수 있다면, $f$는 다음과 같이 표현된다.

$f=\operatorname {diag} (1,1,\dotsc ,1,\alpha )$

여기서 $\alpha$는 1이 아닌 1의 거듭제곱근이다. 만약 $f$가 대각화될 수 없다면, $f$는 다음과 같이 표현된다.

$f={\begin{pmatrix}1&1&0&\dotsm &0\\0&1&0&\dotsm &0\\0&0&1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\\0&0&0&&1\end{pmatrix}}$

대각화될 수 없는 준반사를 이환(移環, 영어: transvection)이라고 한다. 이 경우 차수는 항상 2이다.

만약 $\operatorname {char} K\not \mid n$이라면, $f$는 항상 대각화될 수 있다.

준반사로 생성되는 군

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환으로 구성된 임의의 유한군

$G\leq \operatorname {GL} (V;K)$

$|G|<\aleph _{0}$

이 주어졌을 때, 다음을 정의할 수 있다.

• $V$ 값의 변수를 갖는 자유 가환 결합 대수 $K[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})$. 그 위에는 $G$가 $(g\cdot p)(v)=p(g^{-1}v)\qquad (p\in K[V],\;v\in V,\;g\in G)$와 같이 작용하여, 이는 군환 $K[G]$의 가군을 이룬다.
• $G$에 대한 불변 다항식들의 부분 대수 $K[V]^{G}=\{p\in K[V]\colon g\cdot p=p\;\forall g\in G\}$.

또한, 다음을 가정하자.

• $\operatorname {char} K=0$이거나, 또는 $\operatorname {char} K\not \mid |G|$

슈발레-셰퍼드-토드 정리(Chevalley-Shepard-Todd定理, 영어: Chevalley–Shepard–Todd theorem)에 따르면, $G$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $G$를 생성하는 (유한 개의) 준반사들의 집합 $P\subseteq \operatorname {GL} (V;K)$이 존재한다.
• $K[V]^{G}$는 $K$ 위의 자유 결합 가환 대수(다항식환)이다.
• $K[V]^{G}$의 모든 소 아이디얼에서의 국소화는 정칙 국소환이다.
• $K[V]$는 $K[V]^{G}$ 위의 자유 가군이다.
• $K[V]$는 $K[V]^{G}$ 위의 사영 가군이다.

이러한 꼴로 표현될 수 있는 유한군을 $K$-준반사군(準反射群, 영어: pseudoreflection group)이라고 한다.

두 $K$-준반사군의 직접곱은 역시 $K$-준반사군이다.

증명:

두 $K$-준반사군

$G\leq \operatorname {GL} (V;K)$

$H\leq \operatorname {GL} (W;K)$

이 주어졌을 때, 자연스럽게

$G\times H\leq \operatorname {GL} (V;K)\times \operatorname {GL} (W;K)\leq \operatorname {GL} (V\oplus W;K)$

이다.

역사

슈발레-셰퍼드-토드 정리는 복소수체의 경우 제프리 콜린 셰퍼드(영어: Geoffrey Colin Shephard)와 존 아서 토드(영어: John Arthur Todd, 1908~1994)가 1954년에 증명하였으며, 1955년에 클로드 슈발레가 더 간략한 증명을 발표하였다.

이후 장피에르 세르가 이 정리를 양의 표수에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

• “Polynomial invariants of finite groups. A survey of recent developments”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 34: 211–250. 1997. doi:10.1090/S0273-0979-97-00724-6. MR 1433171. 

외부 링크

• “Reflection group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.