호모토피 이론에서 점을 가진 공간(영어: pointed space)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.
범주
가 시작 대상
을 갖는다고 하자.
위의 점을 가진 범주(영어: pointed category)
는 쌍대 조각 범주
이다. 즉,
의 대상은
의 사상
이다. 이는
와 그 속의 "점"
의 순서쌍
으로 생각할 수 있다. 이를
의 밑점(-點, 영어: basepoint)이라고 한다.
의 대상
사이의 사상
은 다음 그림을 가환하게 하는
에서의 사상
이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}1&{\xrightarrow {\bullet _{X}}}&X\\&{\scriptstyle \bullet _{Y}}\!\!\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e099d3219cc0e5c558d42a1ade002a1b56176d4)
즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.
시작 대상
을 가진 범주
위의 점을 가진 범주
는 항상 영 대상
을 가진다.
영 대상을 가진 범주
위의 점을 가진 범주는
와 동치이다. 즉, 범주
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 영 대상을 가진다.
인, 시작 대상을 가진 범주
가 존재한다.
시작 대상
을 가진 범주
위의 점을 가진 범주
는 원래 범주
로 가는 자연스러운 망각 함자
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}_{\bullet }\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86def56eb4f9a6022cd98947d850f13878b78611)
를 갖는다.
만약
가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자
![{\displaystyle (-)_{+}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64028c979bbf89e8a64d30048b3c39a2d885bc1)
![{\displaystyle (-)_{+}\colon (X\in {\mathcal {C}})\mapsto X_{+}=(X\sqcup 1,1\hookrightarrow X\sqcup 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a0d6492fc64565eacfa82beec5ecc8bea6402d)
![{\displaystyle (-)_{+}\dashv F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1d74f853b20c651fdd5e5c4185756f17221e53)
를 갖는다. 이를 밑점 추가(영어: adjoining disjoint basepoint)라고 한다.
가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면
역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.
에서의 텐서곱은 분쇄곱(영어: smash product)
이라고 한다. 또한, 만약
가 대칭 모노이드 범주라면
역시 대칭 모노이드 범주이다.
구체적으로,
속의 두 대상
,
의 분쇄곱
은 다음과 같은 밂이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \\X\otimes Y&\to &X\wedge Y\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb4704351de87da1ce10f40bd4028c4e4ade1c3)
이 네모의 왼쪽 변은
![{\displaystyle \otimes \bullet _{Y}\colon X\otimes 1\to X\otimes Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4e6195eabc91670d8035bbe65e254a43e0adab)
![{\displaystyle \bullet _{X}\otimes \colon 1\otimes Y\to X\otimes Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06221d39bb570edea78820b2d8da72fd0ec05860)
로부터 유도되는 사상
![{\displaystyle (\otimes \bullet _{Y})\sqcup (\bullet _{X}\otimes )\colon (X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)\to X\otimes Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1e644fe423207e04ff098aa954eddbf2a84db6)
이다.
에서의 지수 대상
은 다음과 같은 당김이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}[X,Y]_{\bullet }&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle {\bullet _{Y}}\\{}[X,Y]&{\xrightarrow[{\circ {\bullet _{X}}}]{}}&[1,Y]\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b169c9d95d21eb758cd9ae0c886ef221cce57e)
의 점은 유일한 사상
에 대응한다.
집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, 점을 가진 집합(영어: pointed set)의 범주
의 원소는 집합
와 그 속의 원소
의 순서쌍
이다.
점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)
위상 공간의 범주
에서 끝 대상은 한원소 공간
이며, 한원소 공간에서 위상 공간
로 가는 연속 함수
는
속의 한 점
을 제시하는 것과 같다. 즉, 점을 가진 공간(영어: pointed space)
은 위상 공간
와 그 속의 한 점
로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주
의 사상인 점을 보존하는 연속 함수(영어: basepoint-preserving continuous map)
는
![{\displaystyle f(\bullet _{X})=\bullet _{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe84e916fb4b2181362c50ad4e6e4afe54a5522)
인 연속 함수이다.
군의 범주
나 아벨 군의 범주
, 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.
예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군
에 대하여, 항등원
는 그 "점"을 이룬다.