리 군론에서 이차 리 대수(二次Lie代數, 영어: quadratic Lie algebra)는 리 괄호와 호환되는 비퇴화 쌍선형 형식이 주어진 유한 차원 리 대수이다.
가환환 위의 이차 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- -리 대수
- -비퇴화 쌍선형 형식 ,
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
아인슈타인 표기법을 사용하여, 의 원소를 와 같이 윗첨자로 표기하고, 의 구조 상수를
와 같이 적고 (), 쌍선형 형식을
와 같이 적을 경우 (), 위 조건은 다음과 같다.
여기서 는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.
같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.
이중 확대[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 체
- -이차 리 대수
- -리 대수 및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
- -리 대수 준동형 (여기서 는 대칭 쌍선형 형식 에 대한 직교 리 대수)
그렇다면, 직합 -벡터 공간
위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.
여기서
이다. 이를 의, 를 통한 이중 확대(영어: double extension)라고 한다.[1]:553–554, §0.2
만약 일 때, 의 부호수가 이며, 가 차원이라면, 위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이, 의 를 통한 이중 확대의 부호수는 이다.
비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 체 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.
실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3
증명:
실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.
실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.[1]:Théorème Ⅱ
즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.[1]:Théorème Ⅱ
마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.[1]:Théorème Ⅲ
- 직합
- 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대
표수 0의 체 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
임의의 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식 및 아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.
비콤팩트 이차 리 대수[편집]
가환환 위의 이차 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 위에 리 괄호
를 줄 수 있다. 또한, 임의의 에 대하여,
는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수
를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.
그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.
이제, 만약 예를 들어 가 표수 0의 체이며, 가 단순 리 대수이며, 일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이 아니다.
아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수[편집]
다음과 같은 리 대수를 생각하자.[3]:Proposition 2.2
여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식
을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.
이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.
또한, 다음을 생각하자.[3]:Proposition 2.3
여기서 는 크로네커 델타이며, 는 레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다.
이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.
이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.
낮은 차원의 이차 리 대수[편집]
6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.[3][4]
실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.
가해 리 대수가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수[4]:Theorem 4.11
차원 |
이차 리 대수
|
3 |
|
|
6 |
에 의한 이중 확대
|
에 의한 이중 확대
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
|
일 때, 이중 확대 .[4]:Example 3.11 여기서 이며 ()
|
일 때, 이중 확대 .[4]:Example 4.7. 여기서 이며 는 복소수 힐베르트 공간 내적이다.
|
11 |
(총 3개)
|
12 |
(총 9개)
|
13 |
(총 4개)
|
아벨 리 대수가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수[3]:Proposition 2.2, 2.3, 3.8
차원 |
이차 리 대수
|
4 |
(※위 문단을 참고)
|
5 |
(※위 문단을 참고)
|
6 |
(2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재)
|
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]