원군

군론에서 원군(圓群, 영어: circle group)은 절댓값이 1인 복소수로 구성된 1차원 리 군이다. SO(2) 또는 U(1)으로 불리며, 폰트랴긴 쌍대성을 발생시킨다.

정의

원군 $T$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

0이 아닌 복소수의 곱셈군 $\mathbb {C} ^{\times }$ 가운데, 절댓값이 1인 것들의 부분군 $\{z\in \mathbb {C} ^{\times }\colon |z|=1\}$
실수체 위의 2차 특수직교군 $\operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )$
1차 유니터리 군 $\operatorname {U} (1)$
2차원 스핀 군 $\operatorname {Spin} (2)$
실수체의 덧셈군의 몫군 $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

이 위에는 1차원 매끄러운 다양체의 구조가 표준적으로 주어지며, 이에 따라 $T$ 는 1차원 리 군을 이룬다.

원군은 원 $S^{1}$ 과 위상동형이다. 따라서, 연결 공간이며, 기본군은 무한 순환군 $\pi _{1}(T)\cong \mathbb {Z}$ 이다.

원군을 위상군이 아니라 단순한 군으로 간주하자. 원군은 아벨 군이자 나눗셈군이며, 나눗셈군의 구조 정리에 따라 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

\mathbb {T} \cong \mathbb {Q} ^{\oplus 2^{\aleph _{0}}}\oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong \mathbb {C} ^{\times }

물론, 리 군으로서는 $\mathbb {T} \not \cong \mathbb {C} ^{\times }$ 이다.

이에 따라, 원군은 모든 소수 $p$ 에 대한 프뤼퍼 군을 부분군으로 갖는다. 원군의 계수는 실수의 크기 $2^{\aleph _{0}}$ 이며, 꼬임 부분군은 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 이다. 원군은 정수환 위의 가군으로서 뇌터 가군도, 아르틴 가군도 아니다. (반면, 프뤼퍼 군은 아르틴 가군이지만 뇌터 가군이 아니다.)

원군의 부분군 가운데 닫힌집합인 것은 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군들이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 군들이다.

\operatorname {Cyc} (n)\cong \{z\in \mathbb {C} ^{\times }\colon z^{n}=1\}\subset T

1차원 이상의 모든 콤팩트 리 군은 원군을 닫힌 부분군으로 갖는다.

\hom(T,T)\cong \mathbb {Z}

원군의 범피복군은 1차원 유클리드 공간 $\mathbb {R}$ 이다.

원군 $T$ 의 연속 복소수 표현은 다음과 같이 분류된다. $T$ 의 복소수 기약 표현은 모두 1차원이며, 이들은

\hom(T,T)\cong \mathbb {Z}

와 일대일 대응한다. 즉, 정수 $n\in \mathbb {Z}$ 에 의하여 분류된다.

원군 $T$ 의 연속 실수 기약 표현들은 두 가지가 있다.

1차원 자명한 표현
2차원 표현 $\rho _{n}\colon \exp(i\theta )\mapsto {\begin{pmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{pmatrix}}$ . 이는 복소수 기약 표현에서 복소수 구조를 잊은 것이다. 복소수 기약 표현과 달리, $\rho _{n}$ 과 $\rho _{-n}$ 은 실수 표현으로서 서로 동형이며, $n=0$ 인 경우는 기약 표현이 아니므로, 이 경우 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 이다.