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내부 (위상수학)

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위상수학에서 내부(內部, 영어: interior)는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. 의 내부의 기호는 또는 이다.

정의

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위상 공간 의 부분 집합 내부 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 들의 집합이다.

  • 열린집합 가 존재한다.

내부의 원소를 내부점(內部點, 영어: interior point)이라고 한다.

성질

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열린집합과의 관계

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위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 열린집합이다.

반대로 의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 의 최대 열린부분집합이다.[1]:92-101

폐포와의 관계

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내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.

내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.

위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계외부로 분할할 수 있다.

집합 연산과의 관계

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내부는 유한 교집합을 보존한다.

그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.

기저와의 관계

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위상 공간 기저 가 주어졌을 때, 부분 집합 및 점 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 가 존재한다.

즉, 에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

[편집]

실수선 의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.

또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.

스콧 위상

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연속 dcpo 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의 상폐포의 내부는 다음과 같다.[2]:136, Proposition II-1.6

증명:

스콧 열린집합: 상향 집합이며, 라고 하자. 연속 dcpo이므로, 가 존재한다. 즉, 이다.

: 임의의 상향 집합 가 주어졌으며, 또한 라고 하자. 를 찾으면 족하다. 스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서, 이다. 따라서, 공집합이 아니다.

같이 보기

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각주

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  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001. 

외부 링크

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