리 군 의 표현론 에서 기본 표현 (基本表現, fundamental representation )은 그 우세 무게 가 다른 모든 우세 무게 들의 집합의 기저를 이루는 표현이다. 주어진 군의 임의의 표현은 기본 표현들의 조합으로 유일하게 나타낼 수 있다.
모든 표현은 일련의 무게 들로 나타낼 수 있다. 계수(rank , 카르탕 부분 대수 의 차원)가
k
{\displaystyle k}
인 반단순 리 대수 의 표현은
k
{\displaystyle k}
개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은
k
{\displaystyle k}
차원 실수 벡터 공간 의 원소다. 여기에 임의로 정분면(orthant )을 골라, 순서를 매길 수 있다. 그 가운데, 선택한 양근 에 의하여 결정되는 단순 쌍대근의 쌍대 기저를 기본 무게 (基本-, fundamental weight )고 한다. 기본 무게를 우세 무게 로 가지는 표현을 기본 표현 이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 기저 를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.
단순 리 군의 기본 표현 [ 편집 ]
An = SU(n+1) (또는 그 복소화인
S
L
(
n
+
1
,
C
)
{\displaystyle SL(n+1,\mathbb {C} )}
)의 경우, 기본 표현은
k
{\displaystyle k}
차 완전 반대칭 텐서
⋀
k
C
n
+
1
{\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathbb {C} ^{n+1}}
(
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle k=1,\dots ,n}
)이다. 이 경우, 기본 무게는
(
1
,
0
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle (1,0,0,\dots ,0)}
,
(
1
,
1
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle (1,1,0,\dots ,0)}
…,
(
1
,
1
,
1
,
…
,
1
)
{\displaystyle (1,1,1,\dots ,1)}
의 꼴이다.
Bn = Spin(2n+1) 의 경우, 기본 표현은
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
차원 디랙 스피너 와
⋀
k
C
2
n
+
1
{\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathbb {C} ^{2n+1}}
(
k
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=1,\dots ,n-1}
)이다. 이 경우, 기본 무게는
(
1
/
2
,
1
/
2
,
…
,
1
/
2
)
{\displaystyle (1/2,1/2,\dots ,1/2)}
(스피너)와
(
1
,
0
,
…
,
0
,
0
)
{\displaystyle (1,0,\dots ,0,0)}
, …,
(
1
,
1
,
…
,
1
,
0
)
{\displaystyle (1,1,\dots ,1,0)}
이다. (물론
(
1
,
1
,
…
,
1
)
=
2
(
1
/
2
,
1
/
2
,
…
,
1
/
2
)
{\displaystyle (1,1,\dots ,1)=2(1/2,1/2,\dots ,1/2)}
이므로 기본 표현이 아니다.)
Cn = USp(2n) 의 경우, 기본 표현은
⋀
k
C
2
n
{\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathbb {C} ^{2n}}
(
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle k=1,\dots ,n}
)의 최고 무게 기약 성분 이다. 이는
(
2
n
k
)
−
(
2
n
k
−
2
)
{\displaystyle {\binom {2n}{k}}-{\binom {2n}{k-2}}}
(
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2}
)차원이다. 물론
k
=
1
{\displaystyle k=1}
인 경우는 그냥
2
n
{\displaystyle 2n}
차원이다.
Dn = Spin(2n) 의 경우, 기본 표현은
2
n
−
1
{\displaystyle 2^{n-1}}
차원 바일 스피너 두 개와
⋀
k
C
2
n
{\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathbb {C} ^{2n}}
(
k
=
1
,
…
,
n
−
2
{\displaystyle k=1,\dots ,n-2}
)이다. 이 경우, 기본 무게는
(
1
/
2
,
1
/
2
,
…
,
1
/
2
,
±
1
/
2
)
{\displaystyle (1/2,1/2,\dots ,1/2,\pm 1/2)}
와
(
1
,
0
,
…
,
0
,
0.0
)
{\displaystyle (1,0,\dots ,0,0.0)}
, …,
(
1
,
1
,
…
,
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle (1,1,\dots ,1,0,0)}
이다.
F4 의 경우, 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 딸림표현 이다.
G2 의 경우, 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 딸림표현 이다.
E6 의 경우, 기본 표현은 27, 27′, 78, 351, 351′, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 딸림표현 이다.
E7 의 경우, 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 딸림표현 이다.
E8 의 경우, 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 딸림표현 이다.
같이 보기 [ 편집 ]