가해 리 대수

리 군론에서 가해 리 대수(可解Lie代數, 영어: solvable Lie algebra)는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.

정의

가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.

• 일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
• 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다.
• 실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군이 가해군인 것이다.

유도열을 통한 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 유도열(誘導列, 영어: derived series)은 다음과 같다.

${\mathfrak {g}}={\mathcal {D}}^{0}{\mathfrak {g}}$

${\mathcal {D}}^{i+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathcal {D}}^{i}{\mathfrak {g}},{\mathcal {D}}^{i}{\mathfrak {g}}]$

${\mathfrak {g}}={\mathcal {D}}^{0}{\mathfrak {g}}\supseteq {\mathcal {D}}^{1}{\mathfrak {g}}\supseteq {\mathcal {D}}^{2}{\mathfrak {g}}\supseteq \cdots$

만약 어떤 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 ${\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0$이라면, ${\mathfrak {g}}$를 가해 리 대수라고 한다.^:31 ($0$는 유일한 0차원 리 대수이다.)

리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 극대 부분 리 대수는 보렐 부분 대수(영어: Borel subalgebra)라고 한다. 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 최대 리 대수 아이디얼은 근기라고 한다. (보렐 부분 대수는 일반적으로 유일하지 않지만, 근기는 항상 유일하다.)

표현론을 통한 정의

표수 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {g}}$는 가해 리 대수이다.
• ${\mathfrak {g}}$의 딸림표현 $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subseteq {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)$는 가해 리 대수이다.
• $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$는 멱영 리 대수이다.^{:Proposition 1.39}
• (카르탕 가해성 조건 영어: Cartan’s criterion for solvability) ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식 $B$가 주어졌을 때, $B({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0$이다.

리 군 이론을 통한 정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$라고 하자. 그렇다면, 유한 차원 $\mathbb {K}$-리 대수의 경우 가해성은 다음과 같이 정의될 수 있다.

유한 차원 $\mathbb {K}$-리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {g}}$를 리 대수로 갖는 (유일한) 단일 연결 리 군 $G$는 (군으로서) 가해군이다.
• $G_{0}=G$이며, $G_{i+1}=\operatorname {cl} ([G_{i},G_{i}])$라고 하자. 여기서 $\operatorname {cl}$은 위상수학적 폐포를 뜻한다. 그렇다면 이 열은 유한하다. 즉, $G_{i}$가 한원소 집합인 자연수 $i$가 존재한다.
• ${\mathfrak {g}}$는 가해 리 대수이다.

이 경우, 위와 같이 "폐포를 취한 유도열"은 리 대수의 유도열에 대응한다.

연결 리 군이 아닌 리 군 $G$의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $G$의 연결 성분 $G_{0}$는 (군으로서) 가해군이다.
• $G$의 리 대수 $\operatorname {Lie} (G)$는 가해 리 대수이다.

성질

함의 관계

임의의 가환환 $K$에 대하여, 다음 포함 관계가 (정의에 따라) 성립한다.

$K$-아벨 리 대수 ⊆ $K$-멱영 리 대수 ⊆ $K$-가해 리 대수 ⊆ $K$-리 대수

연산에 대한 닫힘

리 대수의 짧은 완전열

$0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}\to 0$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {g}}$가 가해 리 대수이다.
• ${\mathfrak {a}}$와 ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$가 둘 다 가해 리 대수이다.

증명 (${\mathfrak {g}}$ 가해 ⇒ ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ 가해):

${\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0$이라고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}=0$이며, 또한 자연스러운 전사 함수

$0={\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow {\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})$

에 따라 ${\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})=0$이다.

증명 (${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ 가해 ⇒ ${\mathfrak {g}}$ 가해):

충분히 큰 자연수 $m,n\in \mathbb {N}$에 대하여

${\mathcal {D}}^{m}({\mathfrak {a}})={\mathcal {D}}^{n}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}})=0$

라고 하자. 그렇다면,

${\mathcal {D}}^{n}({\mathcal {g}})\subseteq {\mathfrak {a}}$

이므로,

${\mathcal {D}}^{m+n}({\mathcal {g}})\subseteq {\mathcal {D}}^{m}{\mathcal {a}}=0$

이다.

즉,

• 가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
• 가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
• 가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.

분류

리 정리(영어: Lie’s theorem)에 따르면, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰 $n$에 대하여 ${\mathfrak {b}}(n;K)$의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)

예

체 $K$에 대하여, ${\mathfrak {b}}(n;K)$가 모든 $n\times n$ 상삼각 행렬로 구성된 리 대수라고 하자. 이는 가해 리 대수를 이룬다.

역사

리 정리는 소푸스 리가 1876년에 증명하였다.

외부 링크

• “Lie algebra, solvable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie group, solvable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “LieAlgebraCommutatorSeries”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mathew, Akhil (2009년 7월 26일). “Lie's Theorem I”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2017년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 21일에 확인함. 
• Mathew, Akhil (2009년 7월 27일). “Lie's Theorem II”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2017년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 21일에 확인함.