리 군론에서 6차원 회전군(六次元回轉群, 영어: six-dimensional rotation group)은 6차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수의 4×4 특수 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.
6차원 회전군은 6차원 실수 계수 직교군
이다. 그 딘킨 도표는
![{\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8a9bf3a0a8d840ec4ca6d745d735657243f649)
이다.
6차원 스핀 군은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다.
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d87b83d1741db6400a7e2eec25574593d546517)
즉,
는
이다.
그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다.
킬링 형식의 부호수 |
기호 |
직교군 기호 |
유니터리·선형군 기호 |
사타케 도표 |
보건 도표 |
비고
|
(0,15) |
|
Spin(6) |
SU(4) |
![{\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8a9bf3a0a8d840ec4ca6d745d735657243f649) |
![{\displaystyle \circ -\circ -\circ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d2090aceadace92e77d910ff7aeccd100d51a5) |
콤팩트 형태
|
(5,10) |
A₃Ⅱ, D₃Ⅱ |
Spin(1,5) |
![{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {SU} ^{*}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4d0720a4e097fb2eb01e74630b36e4013f97db) |
![{\displaystyle \bullet -\circ -\bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8377b1f925cd03fb35fb85655f6d83d5473fe29f) |
|
(8,7) |
A₃Ⅲ, D₃Ⅱ |
Spin(2,4) |
SU(2,2) |
![{\displaystyle \underbrace {\circ -\circ -\circ } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515fd8cf297baefbb632f7767edf414f8433db22) |
|
(9,6) |
A₃Ⅰ, D₃Ⅰ |
Spin(3,3) |
![{\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19780032635f09f7ca4ec516a8b5cc6d89b3db8) |
![{\displaystyle \circ -\circ -\circ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d2090aceadace92e77d910ff7aeccd100d51a5) |
![{\displaystyle \underbrace {\circ -\bullet -\circ } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283315d8db4412c2eef12f21d5a265d160d50083) |
분할 형태
|
(10,5) |
A₃Ⅲ, D₃Ⅲ |
SO*(6) |
SU(3,1) |
![{\displaystyle \underbrace {\circ -\bullet -\circ } }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283315d8db4412c2eef12f21d5a265d160d50083) |
|
사타케 도표에서, 중괄호 (
)는 화살표(
)를 나타낸다.
콤팩트 형태[편집]
Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현
및 그 복소수 켤레
에 해당한다.
마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현
은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다.
Spin(6)의 군의 중심은 크기 4의 순환군이다.
에서, 이는
![{\displaystyle \{\mathrm {i} ^{a}1_{4\times 4}\colon a\in \{0,1,2,3\}\}\subsetneq \operatorname {SU} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68ccfa3fd1f2db12730fe62b8e8d37afb3fd84d)
에 해당한다. 이 중심은 몫군
에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로
에 해당한다.
분할 형태[편집]
Spin(3,3)의 군의 중심은 크기 2의 순환군이다.
에서, 이는
![{\displaystyle \{\pm 1_{4\times 4}\}\subsetneq \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ba74e9a05b6507176261e97b6677c7f973c0b4)
에 해당한다.
Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는
의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은
의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다.
실수 차원 |
Spin(3,3) 묘사 |
묘사 |
영 타블로
|
4 |
오른쪽 마요라나-바일 스피너 |
벡터 (정의 표현)
|
□
|
4′ |
왼쪽 마요라나-바일 스피너 |
(0,1)-텐서 (쌍대 벡터)
|
□ □ □
|
6 |
벡터 (정의 표현) |
반대칭 2-텐서
|
□ □
|
10 |
자기 쌍대 3-텐서 |
대칭 (2,0)-텐서
|
□□
|
10′ |
자기 반쌍대 3-텐서 |
대칭 (0,2)-텐서
|
□□ □□ □□
|
15 |
반대칭 2-텐서 (딸림표현) |
무대각합 (1,1)-텐서 (딸림표현)
|
□□ □ □
|
20 |
대칭 무대각합 2-텐서 |
대칭-반대칭 4-텐서
|
□□ □□
|
20′ |
오른손 벡터-스피너 |
대칭-반대칭 (3,0)-텐서
|
□□ □
|
20″ |
왼손 벡터-스피너 |
대칭-반대칭 (0,3)-텐서
|
□□ □□ □
|
20‴ |
자기 쌍대 3-텐서-스피너 |
완전 대칭 (3,0)-텐서
|
□□□
|
20⁗ |
자기 반쌍대 3-텐서-스피너 |
완전 대칭 (0,3)-텐서
|
□□□ □□□ □□□
|
이들의 텐서곱은 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {4} '\otimes \mathbf {4} '=\mathbf {6} \oplus \mathbf {10} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf92385d36338e9000e0a122443ea3764dde6a9)
![{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} '=\mathbf {1} \oplus \mathbf {15} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc56a5ff1ec4efad4371dcf582f4bea93e7af7e)
![{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} '\oplus \mathbf {20} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3544587503e57c6f021a6e12eb0eb84658570b5b)
![{\displaystyle \mathbf {4} '\otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} \oplus \mathbf {20} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df42411d68bc626f2cddcba44757013641311428)
SO(1,5)[편집]
Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너는 존재하지 않는다. 이는
의 사원수 2차원 정의 표현 (또는
의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다.
Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은
에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.)
SO(2,4)[편집]
Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너이다. 이는
의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다.
SU(1,3)[편집]
은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는
의 반대칭 2-텐서 표현이다.
또한,
의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는
의 왼쪽과 오른쪽 “바일 스피너”에 해당한다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]