힐베르트 스킴

대수기하학에서, 힐베르트 스킴(영어: Hilbert scheme)은 어떤 스킴의 부분 스킴들의 모듈라이 공간인 스킴이다. 모든 사영 대수다양체는 힐베르트 스킴을 가진다. 이 경우, 섬세한 모듈러스 공간의 정의에서, 부분 스킴의 족은 평탄 사상을 뜻한다. 평탄 사상의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 가지므로, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대응하는 성분들로 분해된다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 스킴 $K$
• 스킴 $S$, $X$ 및 스킴 사상 $T\to K\leftarrow X$. 즉, $S/K$와 $X/K$는 $K$ 위의 스킴이며, 조각 범주 $\operatorname {Sch} /K$의 대상이다.

그렇다면, $K$ 위의, 매개 변수 공간 $S$에 대한 $X$의 부분 스킴의 족(영어: family of subschemes of $X$ parametrized by $S$)은 닫힌 부분 스킴

$Y\subseteq X\times _{K}S$

가운데, 표준적 $K$-스킴 사상

$Y/K\to S/K$

이 평탄 사상인 것이다. $S$에 대한 $X$의 부분 스킴의 족의 집합을 $\operatorname {Hilb} _{X/K}(S)$라고 하자.

$K$-스킴 사상 $f\colon S'/K\to S/K$ 및 $S$ 위의 부분 스킴의 족 $Y\subseteq X\times _{K}S$이 주어졌을 때, 사상

$(X,f)\colon X\times _{K}S\to X\times _{K}S'$

아래 $X$의 원상

$Y'\subseteq X\times _{K}S$

을 정의할 수 있다. 즉, $\operatorname {Hilb} _{X/K}$는

• $K$ 위의 조각 범주의 반대 범주 $(\operatorname {Sch} /K)^{\operatorname {op} }$에서
• 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$로 가는

함자를 정의한다. 즉, 이는 $\operatorname {Sch} /K$ 위의 준층이다.

만약 이 함자가 표현 가능 함자라면, 이를 표현하는 스킴을 $\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}$이라고 한다. 즉, 표준적으로

$\hom _{\operatorname {Sch} /K}(S,\operatorname {Hilb} _{X/K})=\operatorname {Hilb} _{X/K}(S)$

이다.

물론, $K=\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$로 놓아, 절대적 힐베르트 스킴을 정의할 수 있다. 이 경우

$\hom _{\operatorname {Sch} }(S,\operatorname {Hilb} _{X})=\operatorname {Hilb} _{X}(S)$

이다.

성질

존재

만약 $S$가 국소 뇌터 스킴이며, $X/S$가 사영 스킴이라면, $\operatorname {Hilb} _{X/S}$가 존재한다.

특히, 정수 계수의 사영 공간

$\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}=\operatorname {Proj} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$

은 힐베르트 스킴을 갖는다.

반면, 힐베르트 스킴을 갖지 않는 대수다양체가 존재한다. 구체적으로, 히로나카 헤이스케는 사영 대수다양체가 아닌 어떤 복소수 비특이 완비 대수다양체 $X$에 대하여, 대수 공간 $X^{2}/\operatorname {Sym} (2)$가 스킴으로서 존재하지 않음을 보였으며, 이에 따라 모듈러스 공간 $\operatorname {Hilb} _{X}(2)$는 스킴이 아니다.

힐베르트 다항식으로의 분해

$K$가 국소 뇌터 스킴이며, $X=\mathbb {P} _{K}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times K$가 $K$ 계수의 사영 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 $K$-부분 스킴에 대하여 힐베르트 다항식을 정의할 수 있다. 이는 유리수 계수 다항식이다.

평탄 스킴 족의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 갖는다. 따라서, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대한 성분들의 분리합집합이다.

$\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}=\bigsqcup _{p\in \mathbb {Q} [x]}\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)$

즉, 각 유리수 계수 다항식 $p\in \mathbb {Q} [x]$에 대하여, $\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)$는 힐베르트 다항식이 $p$인 닫힌 부분 스킴의 모듈라이 공간이다.

사영 공간의 힐베르트 스킴의 구성

정수 계수 사영 공간 $\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$의 힐베르트 스킴 $\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$은 다음과 같이 구체적으로 구성된다.

다항식 $p\in \mathbb {Q} [t]$의 고츠만 수(Gotzmann數, 영어: Gotzmann number)는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 $D$이다.

• $\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$의 임의의 포화 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$, ${\mathfrak {I}}=\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }({\mathfrak {I}}:(x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n})^{i})$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {I}}$의 힐베르트 다항식이 $p$라면, ${\mathfrak {I}}$는 $D$차 이하의 생성원만으로부터 생성될 수 있다.

힐베르트 스킴 $\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)$는 구체적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)=\left\{(V,W)\in \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\times \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\colon \forall i\colon x_{i}V\subseteq W\right\}$

여기서

• $\operatorname {Grass} (a,V)$는 벡터 공간 $V$ 속의 $a$차원 부분 벡터 공간의 모듈라이 공간인 그라스만 다양체이다.
• $D\in \mathbb {N}$는 $p$의 고츠만 수이다.
• $\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}$는 변수 $x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}$에 대한 $D$차 동차다항식들의 공간이다.
• $\textstyle {\binom {a}{b}}$는 이항 계수이다.

예

임의의 국소 뇌터 스킴 $X$에 대하여, 힐베르트 다항식이 상수 $n$인 힐베르트 스킴 $\operatorname {Hilb} _{X}(n)$을 생각하자. 이는 $X$ 위의 $n$개의 점으로 구성된 아르틴 부분 스킴의 모듈라이 공간이며, 따라서 짜임새 공간 $X^{n}/\operatorname {Sym} (n)$이다 ($\operatorname {Sym} (n)$은 대칭군). 특히, $\operatorname {Hilb} _{X}(1)=X$이다.

참고 문헌

• Nitsure, Nitin. “Construction of Hilbert and Quot schemes” (영어). arXiv:math/0504590. 
• Habibi, S. (2009). 《Hilbert and Quot schemes》 (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수: L. Barbieri Viale). Université de Bordeaux Ⅺ. 

외부 링크

• “Hilbert scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hilbert scheme”. 《nLab》 (영어). 
• Siegel, Charles (2008년 7월 18일). “The Hilbert scheme” (영어). 
• Maclagan, Diane (2007년 9월). “Notes on Hilbert schemes” (PDF) (영어). 
• Bertram, Aaron (1999). “Construction of the Hilbert scheme” (영어).