히친 계

수학과 물리학에서 히친 계(Hitchin system)는 양-밀스 이론의 순간자를 수학화한 적분가능계이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 곡면 $M$
• 콤팩트 리 군 $G$
• $M$ 위의 $G$-정칙 벡터 다발 ($G$-주다발의 연관 벡터 다발) $E\twoheadrightarrow M$
• $E$의 벡터 다발 접속 $\nabla _{A}$. 그 곡률을 $F=\mathrm {d} A+A\wedge A$라고 하자.
• $M$ 위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 $\Phi \in \Omega ^{1,0}(M)\otimes {\mathfrak {lie}}(G)$. 이를 힉스 장이라고 한다.

그렇다면 히친 방정식(영어: Hitchin equation)은 다음과 같다.

$F_{A}+[\Phi \wedge \Phi ]=0$

$d_{A}\Phi =0$.

여기서 $d_{A}=d+A\wedge$는 공변 미분이고, $*$는 호지 쌍대이다.

여기서, $F+\Phi +\Phi ^{*}$는 $G^{\mathbb {C} }$-주다발의 주접속으로 해석할 수 있다. 이렇게 생각하면, 히친 방정식은 $G^{\mathbb {C} }$-주다발 주접속이 평탄 주접속임을 나타낸다.

히친 방정식을 만족시키는 데이터 $(A,\Phi )$를 히친 쌍(영어: Hitchen pair)이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정 $G$-벡터 다발들의 모듈라이 공간 ${\mathcal {N}}(\Sigma ,G)$의 공변접다발 $\mathrm {T} ^{*}{\mathcal {N}}(\Sigma ,G)$과 표준적으로 동형이며, 따라서 심플렉틱 다양체를 이룬다.

이제, $G$의 임의의 $k$차 불변 다항식 $p\colon {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$을 생각하자. 그렇다면,

$p(\Phi )\in \operatorname {H} ^{0}(K^{k})$

를 취할 수 있다. 여기서 $K$는 $M$의 (1,0)차 복소수 미분 형식의 복소수 선다발(즉, 표준 선다발)이다. 따라서, 복소수 벡터 공간

$\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }\operatorname {H} ^{0}(K^{k})$

의 임의의 기저를 취하면, $\mathrm {T} ^{*}{\mathcal {N}}(\Sigma ,G)$ 위의 일련의 함수들을 정의할 수 있다. 이러한 함수의 수는 ${\mathcal {N}}(\Sigma ,G)$의 차원과 같으며, 이들은 또한 푸아송 괄호 아래 서로 가환한다. 따라서, 이를 해밀토니언들로 삼았을 때, 이는 적분가능계를 이룬다. 이 적분가능계를 히친 계라고 한다.

역사

나이절 히친이 1987년 도입하였다.

참고 문헌

• Ngô, Bao Châu (2006). 〈Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces〉. 《International Congress of Mathematicians. Vol. II》 (프랑스어). Zürich: European Mathematical Society. 1213–1225쪽. MR 2275642. 2012년 3월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 3월 4일에 확인함. 
• Ngô, Bao Châu (2010). “Fibration de Hitchin et endoscopie”. 《Inventiones Mathematicae》 (프랑스어) 164 (2): 399–453. doi:10.1007/s00222-005-0483-7. ISSN 0020-9910. MR 2218781. 
• Gothen, Peter B.; Oscar García-Prada , Steven B. Bradlow (2007). “What is … a Higgs bundle?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (8): 980–981. ISSN 0002-9920. MR 2343296. 
• Simpson, Carlos T. (1992). “Higgs bundles and local systems”. 《Publications Mathématiques de l'IHÉS》 (영어) (75): 5–95. doi:10.1007/BF02699491. ISSN 1618-1913. MR 1179076. 
• Hausel, Tamás (2011). “Global topology of the Hitchin system” (영어). arXiv:1102.1717. Bibcode:2011arXiv1102.1717H. 
• Gawędzki, Krzysztof; Pascal Tran-Ngoc-Bich. “Hitchin systems at low genera”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 41 (7): 4695–4712. arXiv:hep-th/9803101. Bibcode:2000JMP....41.4695G. doi:10.1063/1.533372. MR 1765854. Zbl 0974.32009. 

외부 링크

• Previato, Emma (2001). “Hitchin system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.