홈플리 다항식

매듭 이론에서 홈플리 다항식(HOMFLY多項式, 영어: HOMFLY polynomial)은 유향 연환에 대하여 정의되는 2변수 다항식 불변량이다.

정의

홈플리 다항식은 모든 유향 연환

$K\colon (\mathbb {S} ^{1})^{\sqcup n}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}$

에 대하여 정의되는, 두 변수 $\alpha$, $z$에 대한 정수 계수 다항식

$P_{K}(\alpha ,z)\in \mathbb {Z} [\alpha ,\alpha ^{-1},z,z^{-1}]$

이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다.

• (임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 $\bigcirc$에 대하여, $P_{\bigcirc }(\alpha ,z)=1$
• (타래 관계 영어: skein relation) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 $L_{+}$, $L_{-}$, $L_{0}$를 정의하였다고 하자.

  

그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다.

$\alpha P_{L_{+}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}P_{L_{-}}(\alpha ,z)=zP_{L_{0}}(\alpha ,z)$

존스 다항식과 알렉산더 다항식

홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.

• 존스 다항식(영어: Jones polynomial): $V_{L}(q)=P_{L}(q^{-1},q^{1/2}-q^{-1/2})$
• 알렉산더 다항식(영어: Alexander polynomial): $\Delta _{L}(q)=P_{L}(1,q^{1/2}-q^{-1/2})$

성질

홈플리 다항식 $P_{L}(\alpha ,z)\in \mathbb {Z} [\alpha ,\alpha ^{-1},z,z^{-1}]$은 정수 계수 로랑 다항식이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식

$V_{L}(q)=P_{L}(q^{-1},q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]$

$\Delta _{L}(q)=P_{L}(1,q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]$

은 $q^{1/2}$에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

연산과의 호환성

홈플리 다항식은 매듭의 연결합에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 $K$, $K'$에 대하여, 다음이 성립한다.

$P_{K\#K'}(\alpha ,z)=P_{K}(\alpha ,z)P_{K'}(\alpha ,z)$

서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 연환 $L=L_{1}\sqcup L_{2}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$P_{L_{1}\sqcup L_{2}}(\alpha ,z)={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}P_{L_{1}}(\alpha ,z)P_{L_{2}}(\alpha ,z)$

유향 연환 $L\colon (\mathbb {S} ^{1})^{\sqcup n}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}$의 거울 대칭을

${\bar {L}}=\iota \circ L$

$\iota \colon \mathbb {S} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}$

이라고 할 때, 다음이 성립한다.

$P_{\bar {L}}(\alpha ,z)=P_{L}(-\alpha ^{-1},z)$

즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다.

매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 연환에서, 모든 연결 성분의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다.

천-사이먼스 이론과의 관계

 이 부분의 본문은 천-사이먼스 이론입니다.

홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 $k\in \mathbb {N}$의 $\operatorname {SU} (N)$ 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 $L$에 대한, $N$차원 정의 표현(영어: defining representation)에서 취한 윌슨 고리 연산자의 (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.^{:382, (4.22–4.23)}

$\left\langle \operatorname {tr} \oint _{L}A\right\rangle ={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}P_{L}(\alpha ,z)$

$q=\exp {\frac {2\pi \mathrm {i} }{N+k}}$

$z=q^{1/2}-q^{-1/2}$

$\alpha =q^{N/2}$

예

간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

매듭	홈플리 다항식
공집합 (0개 연결 성분의 연환)	$z/(\alpha -\alpha ^{-1})$
자명한 매듭 01	1
$n$개 연결 성분의 자명한 연환	$(\alpha -\alpha ^{-1})^{n-1}/z^{n-1}$
세잎매듭 31 (왼손)	$2\alpha ^{2}-\alpha ^{4}+\alpha z^{2}$
세잎매듭 31 (오른손)	$2\alpha ^{-2}-\alpha ^{-4}+\alpha ^{-2}z^{2}$
8자 모양 매듭 41	$-1+\alpha ^{2}+\alpha ^{-2}-z^{2}$
호프 연환 $2_{1}^{1}$ (연환수 +1)	$-\alpha ^{-3}z^{-1}+\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}$
호프 연환 $2_{1}^{1}$ (연환수 −1)	$\alpha ^{3}z^{-1}-\alpha z-\alpha z^{-1}$

타래 관계의 예

자명한 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

$L_{+}$	$L_{-}$	$L_{0}$
자명한 매듭 $0_{1}$	자명한 매듭 $0_{1}$	자명한 연환 $0_{1}\sqcup 0_{1}$

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

$\alpha -\alpha ^{-1}=zP_{0_{1}\sqcup 0_{1}}(\alpha ,z)$

즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

$P_{0_{1}\sqcup 0_{1}}(\alpha ,z)={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}$

호프 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

$L_{+}$	$L_{-}$	$L_{0}$
호프 연환 $2_{1}^{1}$ (연환수 +1)	자명한 연환 $0_{1}\sqcup 0_{1}$	자명한 매듭 $0_{1}$

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

$\alpha P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}\left({\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}\right)=z$

즉, 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

$P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)=\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}-\alpha ^{-3}z^{-1}$

만약 호프 연환의 두 성분 가운데 하나의 방향을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 $\alpha \mapsto -\alpha ^{-1}$가 되며,

$P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)=-\alpha z-\alpha z^{-1}+\alpha ^{3}z^{-1}$

를 얻는다.

유향 연환
연환수	+1	−1
홈플리 다항식	$\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}-\alpha ^{-3}z^{-1}$	$-\alpha z-\alpha z^{-1}+\alpha ^{3}z^{-1}$

세잎매듭

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

$L_{+}$	$L_{-}$	$L_{0}$
세잎매듭 $3_{1}$	자명한 매듭 $0_{1}$	호프 연환 $2_{1}^{1}$ (연환수 +1)

이에 따라 타래 관계는

$\alpha P_{3_{1}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}=z\left(\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}-\alpha ^{-3}z^{-1}\right)$

이다. 즉,

$P_{3_{1}}(\alpha ,z)=2\alpha ^{-2}-\alpha ^{-4}+\alpha ^{-2}z^{2}$

이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면

$P_{3_{1}}(\alpha ,z)=2\alpha ^{2}-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}$

이다.

매듭
이름	왼손 세잎매듭	오른손 세잎매듭
홈플리 다항식	$2\alpha ^{2}-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}$	$2\alpha ^{-2}-\alpha ^{-4}+\alpha ^{-2}z^{2}$

홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭

매듭 9₄₂은 스스로의 거울 대칭과 다르지만, 이 두 매듭은 같은 홈플리 다항식을 갖는다 (즉, 홈플리 다항식은 이 경우 거울 대칭을 구별하지 못한다). 매듭 10₇₁의 경우도 마찬가지다.

역사

제임스 워델 알렉산더가 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 1969년에 존 호턴 콘웨이가 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다. 이후 1984년에 본 존스가 존스 다항식을 발견하였다.

1985년에 이들의 일반화인 홈플리 방정식을 피터 존 프라이드(영어: Peter John Freyd, 1936~) · 데이비드 예터(영어: David N. Yetter) · 짐 호스트(영어: Jim Hoste) · 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시(영어: William Bernard Raymond Lickorish, 1938~) · 케네스 밀렛(영어: Kenneth Millett, 1941~) · 아드리안 오크네아누(루마니아어: Adrian Ocneanu)가 공동으로 발견하였다. “홈플리”(영어: HOMFLY)라는 이름은 이를 발견한 6인의 머리글자(FYHLMO)를 발음할 수 있게 재배열한 것이다.

거의 동시에 유제프 헨리크 프시티츠키(폴란드어: Józef Henryk Przytycki, 1953~)와 파베우 트라치크(폴란드어: Paweł Traczyk)가 같은 다항식을 발견하였으나, 2년 늦게 출판하였다. 이 때문에 홈플리 다항식은 간혹 “홈플리-PT 다항식”(영어: HOMFLY–PT polynomial) 또는 “플립모스 다항식”(영어: FLYPMOTH polynomial) 따위로 불리기도 한다.

이후 1989년에 에드워드 위튼이 홈플리 다항식과 천-사이먼스 이론 사이의 관계를 발견하였다.

외부 링크

• “Jones-Conway polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Alexander-Conway polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Conway skein triple”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “HOMFLY polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Jones polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Alexander polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Conway polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “HOMFLY-PT polynomial”. 《nLab》 (영어). 
• “Jones polynomial”. 《nLab》 (영어). 
• “Alexander polynomial”. 《nLab》 (영어). 
• “The HOMFLY-PT polynomial”. 《The Knot Atlas》 (영어). 
• “존스 다항식(Jones polynomial)”. 《The Mathlyblog》. 2016년 1월 21일.