연환수

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위상수학에서, 연환수(連環數, 영어: linking number)는 두 폐곡선이 서로를 감는 수이다. 이는 해석적인 방법으로 간단하게 계산할 수 있다.

정의[편집]

두 개의 성분으로 구성돼 있는 유향 연환(영어: oriented link)을 생각하자. 이 경우, 연환수는 한 폐곡선이 다른 폐곡선을 통과하는, 부호를 가진 정수이다. 그림으로 쉽게 설명할 수 있다.

Linking Number -2.svg Linking Number -1.svg Linking Number 0.svg
연환수 −2 연환수 −1 연환수 0
Linking Number 1.svg Linking Number 2.svg Linking Number 3.svg
연환수 1 연환수 2 연환수 3

이는 두 개의 성분을 가진 유향 연환의 유일한 위상수학적 불변량이다.

계산 알고리즘[편집]

연환의 도표(영어: link diagram)가 주어지면, 다음과 같은 알고리즘으로 연환수를 쉽게 계산할 수 있다.

Link Crossings.svg

연환 도표에서 위와 같은 교차점들의 수를 각각 n_1, n_2, n_3, n_4라고 하자. 그렇다면 연환수 \nu는 다음과 같다.

\nu=n_1-n_4=n_2-n_3

예를 들어, 다음과 같은 연환을 생각하자.

Linking Number Example.svg

이 경우

교차점
n1 3
n2 3
n3 1
n4 1

이므로 연환수는 \nu=2이다.

가우스 적분[편집]

연환수는 또한 해석적으로도 계산할 수 있다. 이 공식을 가우스 연환 적분(영어: Gauss linking integral)이라고 하며, 다음과 같다. 두 폐곡선에 임의의 매개변수를 주어

\mathbf u,\mathbf v\colon[0,2\pi]\to\mathbb R^3
\mathbf u(0)=\mathbf u(2\pi)
\mathbf v(0)=\mathbf v(2\pi)

으로 쓰자. 그렇다면 \mathbf u(s)\mathbf v(t)의 연환수 \nu(\mathbf u,\mathbf v)는 다음과 같다.

\nu(\mathbf u,\mathbf v)=\frac1{4\pi}\oint_{\mathbf u}\oint_{\mathbf v}\frac{\mathbf u-\mathbf v}{\Vert\mathbf u-\mathbf v\Vert^3}\cdot(d\mathbf u\times d\mathbf v)

이는 다음과 같이 유도할 수 있다. 폐곡선에 매개변수를 가하면, 다음과 같은 가우스 사상 \Gamma\colon\mathbb T^2\to\mathbb S^2 을 정의할 수 있다.

\Gamma(s,t)=\frac{\mathbf u(s)-\mathbf v(t)}{\Vert\mathbf u(s)-\mathbf v(t)\Vert}

이는 원환면에서 구면으로 가는 연속함수이며, 그 차수가 연환수와 일치함을 쉽게 확인할 수 있다. 연속함수의 차수공역이 몇 번 감기는지를 세는 위상수학적 불변량인데, 이는 해석적으로 쉽게 계산할 수 있다. 즉, 함수를 정의역에 대하여 적분한 뒤, 이를 공역의 넓이로 나누면 된다. 여기서 (단위) 구면의 넓이는 4\pi이므로 가우스 연환 적분 공식을 쉽게 유도할 수 있다.

고차원 연환수[편집]

고차원에서도 연환수를 정의할 수 있다. (n_1+n_2+1)차원 다양체 M 속에 n_1차원 부분다양체 N_1\subset Mn_2차원 부분다양체 N_2가 있다고 하자. 또한, N_1, N_2호몰로지류꼬임 부분군에 속한다고 하자. 즉, 양의 정수 k_1,k_2\in\mathbb Z가 존재해,

k_1[N_1]=0\in H_{n_1}(M)
k_2[N_2]=0\in H_{n_2}(M)

이라고 하자. 그렇다면 이들 사이의 연환수를 정의할 수 있다. 이 경우, 이는 가우스 적분으로 계산할 수 있다. 가우스 사상

\Gamma\colon N_1\times N_2\to S^{n_1+n_2}

을 정의하면, 연환수는 가우스 사상의 차수이다.

이는 단순히 두 호몰로지류의 교차수(intersection number)이다. 다음과 같은 사슬 C_1, C_2를 정의하자.

\partial C_1=k_1[N_1]
\partial C_2=k_2[N_2]

또한, 푸앵카레 쌍대성을 사용해

[N_1]=[M]\frown\alpha_1
[N_2]=[M]\frown\alpha_2

코호몰로지류 \alpha_i\in H^{n_i+1}(M;\mathbb Z)를 정의할 수 있다. 그렇다면 연환수는

\nu([N_1],[N_2])=\frac{k_1}C_1\frown\alpha_2=(-1)^{(n_1+1)n_2}\frac{k_2}C_2\frown\alpha_1

이다.

바깥 고리[편집]