형식적 실체

체론에서 형식적 실체(形式的實體, 영어: formally real field)는 순서체로 만들 수 있는 체이다.

정의

체 $K$의 수준(水準, 독일어: Stufe 슈투페^[*]) $\operatorname {Stufe} K$은 $-1$을 제곱수들의 합으로 나타내었을 때 필요한 항들의 수의 최솟값이다. 만약 $-1$을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없는 경우, 수준은 $\infty$이다.

$\operatorname {Stufe} K=\min \left\{|S|\colon \sum _{s\in S}s^{2}=-1,\;S\subseteq K,|S|<\aleph _{0}\right\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}$

체 $K$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 형식적 실체(영어: formally real field)라고 한다.

• 수준이 무한대이다. $\operatorname {Stufe} K=\infty$
• 피타고라스 수가 무한대이며 (즉, 제곱수의 합이 아닌 원소가 존재하며), 표수가 2가 아니다.
• $K$의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 $S$에 대하여, 만약 $\textstyle \sum _{s\in S}s^{2}=0$이라면 $S$의 모든 원소들은 0이다.
• $K$의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 $S$에 대하여, 만약 $\textstyle \sum _{s\in S}s^{2}=0$이라면 $S$의 모든 원소들은 0이다.
• $K$는 순서체가 될 수 있다. 즉, $K$를 순서체로 만드는 전순서가 존재한다.

성질

모든 체의 수준은 항상 무한대이거나 아니면 2의 거듭제곱이다.

$\operatorname {Stufe} K\in \{\infty ,1,2,4,8,\dots \}$

만약 $K$의 표수가 2라면, 그 수준은 항상 1이다.

$\operatorname {char} K=2\implies \operatorname {Stufe} K=1$

만약 $K$의 표수가 양수라면, 그 수준은 항상 1 또는 2이다.

$\operatorname {char} K>0\implies \operatorname {Stufe} K\in \{1,2\}$

만약 $K$에서 모든 원소가 제곱근을 갖는다면, $K$의 수준은 항상 1이다.

$\left(\forall a\in K\exists b\in K\colon b^{2}=a\right)\implies \operatorname {Stufe} K=1$

지겔 정리(영어: Siegel’s theorem)에 따르면, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4, 또는 ∞이다.

$K$의 준위는 피타고라스 수 $\operatorname {Pyth} K$와 다음과 같은 부등식을 만족시킨다.

$\operatorname {Pyth} K\leq \operatorname {Stufe} K+1$

형식적 실수가 아닌 체의 경우, 다음이 성립한다.

$\operatorname {Stufe} K<\infty \implies \operatorname {Stufe} K\leq \operatorname {Pyth} K\leq \operatorname {Stufe} K+1$

모든 형식적 실체는 (순서체로 만들 수 있으므로) 표수가 0이다. 모든 실폐체는 형식적 실체이다. 형식적 실폐 $K$의 대수적 폐포 ${\bar {K}}$가 주어졌을 때, $K$를 포함하는 ${\bar {K}}$ 속의 유일한 실폐체 $K^{\operatorname {re} }$가 존재하며, 이를 $K$의 실폐포(영어: real closure)라고 한다.

예

대표적인 체의 수준은 다음과 같다.

체	수준
대수적으로 닫힌 체	1
실폐체	∞
유리수체 $\mathbb {Q}$	∞
유한체 $\mathbb {F} _{q}$, $q\equiv 3{\pmod {4}}$	2
유한체 $\mathbb {F} _{q}$, $q\not \equiv 3{\pmod {4}}$	1
비아르키메데스 국소체 $K$, 이산 값매김환 ${\mathcal {O}}_{K}$의 잉여류체 $\mathbb {F} _{p^{n}}$의 표수가 홀수인 경우	$p$
2진수체 $\mathbb {Q} _{2}$	4
가우스 유리수 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$	1
이차 수체 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})$	2
이차 수체 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-7}})$	4

참고 문헌

• Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
• Prestel, A. (1984). 《Lectures on formally real fields》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1093. Springer. doi:10.1007/BFb0101548. ISBN 978-3-540-13885-3. ISSN 0075-8434. 

외부 링크

• “Formally real field”. 《nLab》 (영어). 
• “Formally real algebra”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 피타고라스 체
• 실폐체