대각화 가능 행렬

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선형대수학에서, 대각화 가능 행렬(對角化可能行列, 영어: diagonalizable matrix)은 적절한 가역 행렬로의 켤레를 취하여 대각 행렬로 만들 수 있는 정사각 행렬이다.

정의[편집]

위의 정사각 행렬 이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각화 가능 행렬이라고 한다.

  • 대각 행렬이 되는 가역 행렬 이 존재한다.

성질[편집]

연산에 대한 닫힘[편집]

위의 정사각 행렬 이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수 에 대하여 역시 대각화 가능 행렬이다.

증명:

만약 에 대하여 대각 행렬이라고 하자. 그렇다면,

이다.

또한, 만약 추가로 대수적으로 닫힌 체이며 가역 행렬이라면, 임의의 정수 에 대하여 역시 대각화 가능 행렬이다.

그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.

필요 조건과 충분 조건[편집]

위의 정사각 행렬 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 은 대각화 가능 행렬이다.
  • 고유 공간들의 차원들의 합이 이다.
  • 이 되는 최소차 일계수 다항식 의 차수가 라고 할 때, 개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다.

위의 정사각 행렬 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

  • 고유 다항식 개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다.

이는 충분 조건이지만, 필요 조건이 아니다.

대각화 가능 행렬의 밀도[편집]

복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은 차원 아핀 공간 의 부분 공간을 이루며, 그 여집합영집합이다 (그 르베그 측도가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

반면, 실수체 위에서, 만약 일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다.

동시 대각화[편집]

위의 정사각 행렬들의 족 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 이 존재한다면, 동시 대각화 가능 행렬족(同時對角化可能行列族, 영어: simultaneously diagonalizable family of matrices)이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 대각 행렬이다.

위의 정사각 행렬들의 족 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:206, §6.5; 207, §6.5, Theorem 3

  • 은 동시 대각화 가능 행렬족이다.
  • 의 모든 원소는 대각화 가능 행렬이며, 은 가환 행렬족이다 (즉, 임의의 에 대하여 ).

[편집]

모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

대각화 불가능 행렬[편집]

임의의 체 에서, 행렬

은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다.

다음과 같은 행렬을 생각하자.

일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요 충분 조건은 다음과 같다.

  • 에서 이 두 개의 제곱근을 갖는다.

즉, 만약 표수가 2가 아니며, 의 제곱근 가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값 을 가지며, 따라서 대각화 가능 행렬이다. 만약 에서 이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 고윳값을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약 표수가 2일 경우, 은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.

대각화의 예[편집]

임의의 에서, 다음과 같은 행렬을 생각하자.

이는 세 개의 고윳값

을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다.

각 고윳값의 고유 벡터는 다음과 같다.

따라서,

를 정의하면,

이 된다.

참고 문헌[편집]

  1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크[편집]