폐포 (위상수학)

위상수학에서 폐포(閉包, 영어: closure)는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다. $A$의 폐포는 $\operatorname {cl} A$ 또는 ${\bar {A}}$와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 $\operatorname {cl} _{(X,{\mathcal {T}})}A$ 또는 $\operatorname {cl} _{X}A$ 또는 $\operatorname {cl} _{\mathcal {T}}A$와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 $d$로 유도되었을 경우 $\operatorname {cl} _{(X,d)}A$ 또는 $\operatorname {cl} _{d}A$와 같이 써도 좋다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$이 주어졌다고 하자. 점 $x\in X$이 다음 조건을 만족시킨다면, $A$의 폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라고 한다.

• $x$의 모든 근방 $U\ni x$에 대하여, $U\cap A\neq \varnothing$이다.

만약 $x$의 국소 기저 ${\mathcal {B}}$가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $A$의 폐포점이다.
• 모든 $B\in {\mathcal {B}}$에 대하여, $B\cap A\neq \varnothing$이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$의 폐포 $\operatorname {cl} A$는 $A$의 모든 폐포점들의 집합이다.

성질

극한점과의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $A$의 폐포점이다.
• $x\in A$이거나, $x$는 $A$의 극한점이다.

즉, $A$의 폐포는 $A$와 그 유도 집합의 합집합이다.

$\operatorname {cl} A=A\cup A'$

닫힌집합과의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 닫힌집합이다.
• $\operatorname {cl} A=A$
• $\operatorname {cl} A\subseteq A$
• $A'\subseteq A$

반대로, $A$의 폐포는 $A$를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 $A$를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

내부·경계와의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $A$의 폐포점이다.
• $x$는 $A$의 내부점이거나 경계점이다.
• $x$는 $A$의 여집합 $X\setminus A$의 내부점이 아니다.

즉, $A$의 폐포는 $A$의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 $A$의 내부와 경계의 분리 합집합이다.

$\operatorname {cl} A=X\setminus \operatorname {int} (X\setminus A)$

$\operatorname {cl} A=\operatorname {int} A\sqcup \partial A$

반대로, $A$의 경계는 $A$와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.

$\partial A=\operatorname {cl} A\cap \operatorname {cl} (X\setminus A)$

항등식

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A,B\subseteq X$ 및 집합족 ${\mathcal {A}}$에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

$\operatorname {cl} \varnothing =\varnothing$

$\operatorname {cl} X=X$

$\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} A\cup \operatorname {cl} B$

$\operatorname {cl} \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\supseteq \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}\operatorname {cl} A$

$\operatorname {cl} \left(\bigcap {\mathcal {A}}\right)\subseteq \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}\operatorname {cl} A$

즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 교집합을 보존하지 않는다.

반례:

표준적인 위상을 갖춘 실수선 $\mathbb {R}$ 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.

$A_{n}=(1/n,1)\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})$

$A=(0,1)$

$B=(1,2)$

그렇다면, $A_{n}$의 합집합 $(0,1)$의 폐포 $[0,1]$는 $A_{n}$의 폐포 $[1/n,1]$의 합집합 $(0,1]$을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, $A$와 $B$의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 $A$의 폐포 $[0,1]$와 $B$의 폐포 $[1,2]$의 교집합 $\{1\}$의 진부분 집합이다.

예

이산 공간

이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

비이산 공간

비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

열린 공

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}$에 대하여, (노름 위상을 갖춘) $\mathbb {K}$-노름 공간 위의 열린 공

$\operatorname {ball_{open}} (0,1)=\{v\in V\colon \Vert v\Vert <1\}$

의 폐포는 닫힌 공

$\operatorname {cl} (\operatorname {ball_{open}} (0,1))=\operatorname {ball_{closed}} (0,1)=\{v\in V\colon \Vert v\Vert \leq 1\}$

이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간 $(X,d)$ 위에서, $x$를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.

$\operatorname {ball_{open}} (x,1)=\{x\}$

$\operatorname {ball_{closed}} (x,1)=X$

하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 $|X|\geq 2$인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.

균등 공간

(균등 위상을 갖춘) 균등 공간 $(X,{\mathcal {E}})$의 부분 집합 $A\subseteq X$의 폐포는 $A$의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다.^{:104, Corollary 8.10}

$\operatorname {cl} A=\bigcap _{E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}}\{y\colon \exists x\in A\colon (x,y)\in E\}$

증명:

임의의 측근 $E\in {\mathcal {E}}$에 대하여, $F=E\cap E^{-1}\subseteq E$는 측근이며, $F=F^{-1}$이다. 따라서, 임의의 $y\in X$에 대하여,

$\{\{x\colon (y,x)\in E\}\colon E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}\}$

은 $x$의 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\operatorname {cl} A&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies \{x\colon (y,x)\in E\}\cap A\neq \varnothing \}\\&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies (\exists x\in A\colon (y,x)\in E)\}\\&=\{y\in X\colon \forall E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{-1}\implies (\exists x\in A\colon (x,y)\in E)\}\\&=\bigcap _{E=E^{-1}\in {\mathcal {E}}}\{y\colon \exists x\in A\colon (x,y)\in E\}\end{aligned}}$

스콧 위상

원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.^{:Remark II-1.4}

$\operatorname {cl} \{a\}=\mathop {\downarrow } a$

외부 링크

• “Closure of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological closure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Closure”. 《PlanetMath》 (영어).