티호노프의 정리

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일반위상수학에서, 티호노프의 정리(Тихонов-定理, 영어: Tychonoff’s theorem)는 임의의 수의 콤팩트 공간들의 곱공간콤팩트 공간이라는 정리다. 우리손 보조정리와 함께 일반위상수학에서 가장 중요한 결과 중 하나로 꼽힌다.[1]

정의[편집]

티호노프의 정리에 따르면, 콤팩트 공간들의 집합 곱공간

콤팩트 공간이다.

체르멜로-프렝켈 집합론의 공리들을 가정하면, 티호노프의 정리는 선택 공리동치이다.

적용[편집]

티호노프의 정리는 다른 여러 정리의 증명에 쓰인다. 그 중에는 노름 공간의 쌍대 공간의 단위공이 약한-* 위상에서 컴팩트하다는 바나흐-앨러오글루 정리나, 함수열이 균등수렴하는 부분열을 가질 조건을 말하는 아르첼라-아스콜리 정리처럼 특정 공간의 컴팩트성에 관한 정리들이 있다. 또한 겉보기에 컴팩트성과 거리가 멀어 보이는 정리, 이를테면 모든 임계 그래프가 유한 그래프라는 더브라윈-에르되시 정리세포 자동자의 위상적 특징에 관한 커티스-헤들런드-린든 정리도 있다.

일반적으로, 단순한 대수적·대수위상적인 대상들을 가지고 콤팩트 공간을 구성할 때는 티호노프의 정리가 쓰일 가능성이 크다. 예를 들어 가환 C* 대수의 극대 아이디얼들이 이루는 겔판트 공간, 불 대수의 극대 아이디얼들이 이루는 스톤 공간, 가환 바나흐 환베르코비치 스펙트럼 따위가 그렇다.

증명[편집]

티호노프의 정리는 여러 방법으로 증명할 수 있다. 티호노프가 1930년에 발표한 증명은 완비 집적점의 개념을 사용한다. 또는 알렉산더 부분기저 정리를 알면 티호노프의 정리가 쉽게 따라나온다.

보다 현대적인 증명으로, 앙리 카르탕이 제시하고 부르바키가 발전시킨 필터의 수렴 개념을 사용하는 것이 있다. 초필터 보조정리에 따라 어느 공간이 컴팩트함은 그 공간의 모든 초필터가 수렴함과 동치이다. 곱공간의 초필터를 각 성분 공간으로 사영하면 다시 초필터가 되고, 이렇게 얻어진 각각의 초필터는 적어도 한 점 xi로 수렴한다. 그러면 원래의 초필터가 x = (xi)으로 수렴함을 보일 수 있다. 제임스 멍크레스의 위상수학 교과서에는 카르탕-부르바키의 증명을 필터 이론의 용어를 사용하지 않도록 수정한 증명이 나와 있다.

이와 비슷하게 존 리로이 켈리극대 그물 개념을 사용하면, 어느 공간이 컴팩트함은 그 공간의 모든 극대 그물이 수렴함과 동치이다. 따라서 카르탕-부르바키의 증명에서 “초필터 기저”를 모두 “극대 그물”로 바꾸기만 하면 티호노프의 정리의 또다른 증명이 나온다.[2]

1992년에 폴 처노프는 그물의 개념을 사용하지만 극대 그물은 사용하지 않는 증명을 발표했다.[3]

선택 공리와의 관계[편집]

위의 모든 증명은 어떤 방식으로든 선택 공리를 사용한다. 예를 들어 초필터를 사용한 증명은 모든 필터가 초필터에 포함된다는 사실을 사용하는데, 그 증명에는 초른의 보조정리가 쓰인다. 모든 그물에는 극대 부분그물이 있다는 켈리의 정리를 보이기 위해서도 초른의 보조정리가 필요하다. 실제로 1950년에 켈리는 ZF 공리계에서 티호노프의 정리가 선택 공리를 함의함을 보였다. 즉 티호노프의 정리는 모든 벡터 공간이 기저를 가진다는 명제처럼 선택 공리와 동치인 여러 기본적 명제 중 하나이다.

한편으로 모든 필터가 초필터에 포함된다는 명제는 선택 공리를 함의하지 않는다. 사실 이 명제는 불 소 아이디얼 정리(BPI)와 동치인데, ZF + BPI는 ZF보다 강하고 ZFC보다 약하다는 사실이 알려져 있다. 언뜻 보기에 초필터를 사용한 증명은 선택 공리가 아니라 BPI만으로도 충분한 것으로 보인다. 그러나 모든 수렴하는 필터가 유일한 극한을 지니는 공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프가 아닌 일반적인 공간의 경우, 각 성분 공간마다 초필터의 극한이 되는 여러 점 중 하나를 선택해야 하는데, 여기에는 선택 공리가 반드시 필요하다. 그러나 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱이 콤팩트함을 보이는 데에는 BPI로 충분하며, 역으로 그 사실을 이용해 BPI를 증명할 수도 있다. 티호노프의 정리를 여러 종류의 공간에 제한시켰을 때 얼마나 강력한가는 집합론적 위상수학에서 활발히 연구되는 문제이다.

티호노프의 정리를 사용한 선택 공리의 증명[편집]

티호노프의 정리를 사용해, 공집합이 아닌 집합들의 곱집합은 공집합이 아님을 보일 수 있다. 이 명제는 물론 선택 공리와 동치이다. 증명에서 가장 어려운 부분은 각 집합을 콤팩트하게 만드는 적당한 위상을 찾는 것인데, 여유한 위상을 약간 수정한 위상이 바로 그 역할을 한다. 티호노프의 정리에 따라 곱공간도 콤팩트 공간이 되고, 콤팩트 공간이 유한 교차성을 갖는다는 사실을 이용하면 증명이 끝난다. 다음 증명은 존 리로이 켈리가 제시한 것이다.

{Ai}가 공아닌 집합들의 첨수집합족이라고 하자. 이때 각 i는 첨수집합 I에 속한다. 이 집합들의 곱이 공집합이 아님을 보이려고 한다. 각 i에 대해, 집합 Aii를 더한 집합을 Xi라 하자. (이때 첨수를 적당히 바꿔서 i가 Ai의 원소가 아니게 할 수 있다. 그러면 단순히 Xi = Ai ∪ {i}이라고 생각하면 된다.)

이제 곱집합 X를 다음과 같이 정의하고,

X의 각 원소를 그 i번째 성분에 대응시키는 정사영 πi를 정의하자.

Xi에 위상을 주는데, Xi의 여유한 부분집합, 공집합, 그리고 한원소집합 {i}만이 열린집합이 되도록 한다. 그러면 Xi는 콤팩트하고, 티호노프의 정리에 따라 X도 콤팩트하다. 정사영 πi는 연속이고, Ai는 {i}의 여집합으로서 Xi에서 닫힌집합이므로, 역상 πi-1(Ai)도 X에서 닫힌집합이다. 이때

이다. 이제 각 역상이 공집합이 아니고 유한 교차성을 지님을 보인다. i1, ..., iNI에 속한 유한 개의 첨수라 하자. 그러면 유한 곱 Ai1 × ... × AiN은 공집합이 아니다. (유한 곱이므로 선택 공리는 불필요하다.) a = (a1, ..., aN)가 이 곱집합의 원소라 하자. 이제 a를 전체 첨수집합으로 확장하여 함수 f를 다음과 같이 정의한다. f(j) = ak (j = ik일 때), f(j) = j (그렇지 않을 때). (각 성분 공간에 한 점을 더한 이유가 바로 여기에 있다. Xj에서 점 j를 고르는 데는 선택 공리가 필요없으므로, X의 한 점 f를 선택 공리 없이 구성할 수 있는 것이다.) πik(f) = ak는 물론 각 Aik의 원소이므로, f는 각 역상에 모두 속한다. 따라서, 다음을 얻는다.

X는 콤팩트 공간으로서 유한 교차성을 지니므로, I 전체에서 교집합을 취해도 공집합이 아니다. 이것으로 증명이 끝난다.

역사[편집]

1930년에 안드레이 니콜라예비치 티호노프가 닫힌 단위 구간의 곱에 대하여 증명하였다.[4] 그 후 1935년에 티호노프는 정리가 일반적인 경우에도 성립하며 그 증명은 단위 구간의 경우와 똑같다고 적었다.

각주[편집]

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]