유니터리 행렬

선형대수학에서, 유니터리 행렬(영어: unitary matrix)는 켤레 전치가 역행렬과 같은 복소수 행렬이다.

정의

복소수 $n\times n$ 행렬 $U$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $U$를 유니터리 행렬이라고 한다.

• $U^{*}=U^{-1}$
• $UU^{*}=1_{n\times n}$
• $U^{*}U=1_{n\times n}$
• $U$의 열들은 $\mathbb {C} ^{n}$의 정규 직교 기저를 이룬다.
• $U$의 행들은 $\mathbb {C} ^{n}$의 정규 직교 기저를 이룬다.
• $\mathbb {C} ^{n}$에서, 모든 정규 직교 기저 $B$에 대하여, $U(B)$는 정규 직교 기저이다.
• $\mathbb {C} ^{n}$에서, 어떤 정규 직교 기저 $B$에 대하여, $U(B)$는 정규 직교 기저이다.
• $U$는 정규 행렬이며, 모든 고윳값의 절댓값은 1이다.
• 임의의 $x,y\in \mathbb {C} ^{n}$에 대하여, $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle$.
• 임의의 $x\in \mathbb {C} ^{n}$에 대하여, $\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$.

여기서 $(-)^{*}$는 켤레 전치, $\langle -,-\rangle$는 $\mathbb {C} ^{n}$의 표준 내적, $\Vert {-}\Vert$는 $\mathbb {C} ^{n}$의 표준 노름이다.

성질

실수 행렬의 경우 유니터리 행렬은 직교 행렬과 동치이다.^:304

유니터리 행렬 $U$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 정규 행렬이다.
• 대각화 가능하다. 이는 스펙트럼 정리의 결과에 따라 $U$가 대각행렬과 유니터리하게 닮음이란 것이다. $U$는 $U=VDV^{*}$와 같이 분해할 수 있다. 여기서 $V$는 유니터리 행렬, $D$는 대각 유니터리 행렬이다.
• $|{\det U}|=1$
• $U$의 고유 공간은 정규 직교다.
• $U=e^{iH}$인 에르미트 행렬 $H$가 존재한다. ($e^{(-)}$는 행렬 지수 함수)

모든 $n\times n$ 유니터리 행렬의 집합은 행렬 곱셈에 따라 군을 이루며, 이를 유니터리 군 $\operatorname {U} (n)$이라고 한다.

예

복소수 $1\times 1$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}e^{i\theta }\end{pmatrix}}\qquad \theta \in \mathbb {R}$

복소수 $2\times 2$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}a&b\\-{\bar {b}}e^{i\theta }&{\bar {a}}e^{i\theta }\end{pmatrix}}\qquad |a|^{2}+|b|^{2}=1,\;\theta \in \mathbb {R}$