유니타리행렬

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유니타리행렬 (unitary matrix) 켤레전치 가 곧 역행렬인, 즉 다음을 만족하는 복소 행렬이다.

여기에서 단위행렬이다. 행렬에 대한 비슷한 개념으로 직교행렬이 있다.

성질[편집]

임의의 유한한 크기의 유니타리 행렬 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • 주어진 두 개의 복소수 벡터 에 대해 를 곱해준 것을 내적한 것은 그들의 내적과 같다. 즉,
  • 는 정규행렬이다.
  • 는 대각화 가능하다. 이는 스펙트럴 정리의 결과에 따라 가 대각행렬과 유니터리하게 닮음이란 것이다. 는 다음과 같이 분해할 수 있으며,
여기서 는 유니타리 행렬이고, 는 대각행렬이면서 유니타리 행렬이다.
  • 의 고유공간은 정규직교다.
  • 와 같이 쓸 수 있다. 는 지수행렬을 의미하고, 는 단위 허수, 는 헤르미트 행렬을 의미한다.


임의의 양의 정수 에 대해 모든 정n각 유니타리 행렬의 집합은 행렬곱과 함께 군을 이루는데 이를 유니타리 군 이라고 한다.

동치 조건[편집]

만약 가 정사각행렬이고 복소수 행렬일 때, 다음 조건들은 서로 동치이다.

  1. 가 유니타리이다.
  2. 가 유니타리이다.
  3. 는 역행렬이 존재하여 U−1 = U이다.
  4. 의 열들이 일반적인 내적에 대해 정규 직교 기저를 형성한다.
  5. 의 행들이 일반적인 내적에 대해 정규 직교 기저를 형성한다.
  6. 는 정규행렬로 그 고윳값들이 단위원 위에 있다.

같이 보기[편집]