파라콤팩트 공간: 두 판 사이의 차이
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* ('''[[스미르노프 거리화 정리]]''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 거리화 가능 공간]]의 조건은 [[거리화 가능 공간]] 조건과 동치이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}} |
* ('''[[스미르노프 거리화 정리]]''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 거리화 가능 공간]]의 조건은 [[거리화 가능 공간]] 조건과 동치이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}} |
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* [[T4 공간|T<sub>4</sub> 공간]]의 [[유한 집합|유한 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[합집합]] 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}} |
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* [[T4 공간|T<sub>4</sub> 공간]] <math>X</math> 속의 [[가산 집합|가산 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[내부]]가 이루는 [[집합족]]이 X의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}} |
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* 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 [[완전사상]]이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 X도 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}} |
* 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 [[완전사상]]이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 X도 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}} |
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* G가 [[국소 콤팩트]] [[연결 공간]]인 [[위상군]]이라면, G는 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}} |
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2015년 3월 3일 (화) 09:47 판
일반위상수학에서, 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 위상 공간으로서, 콤팩트 공간을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. 미분위상수학 및 미분기하학 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라콤팩트 공간이며, 이 공간은 단위 분할 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 리만 계량, 미분 형식의 적분 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.[1]:68
정의
파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.[1]:68
X의 열린 덮개 가 국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 가 존재하여 유한 개의 에 대해서만 을 만족한다는 의미이다.[1]:68
성질
파라콤팩트 공간은 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.
- 콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다.
- 파라콤팩트 공간은 메조콤팩트 공간이자 준파라콤팩트 공간이다.
- 파라콤팩트인 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
- 준파라콤팩트인 정칙 공간은 파라콤팩트 공간이다.
- (디외도네의 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 공간이다.[2]:253
- 파라콤팩트 공간의 닫힌 부분 공간은 파라콤팩트 공간이다.[2]:254
- (모리타의 정리) T4 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.[2]:257
- 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, 정칙 공간 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다.
- (스미르노프 거리화 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 국소 거리화 가능 공간의 조건은 거리화 가능 공간 조건과 동치이다.[2]:261
- 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.[2]:260
- T4 공간의 유한 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.[2]:260
- T4 공간 속의 가산 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 내부가 이루는 집합족이 X의 덮개를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.[2]:260
- 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 완전사상이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때 X도 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.[2]:260
- G가 국소 콤팩트 연결 공간인 위상군이라면, G는 파라콤팩트 공간이다.[2]:261
한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.[2]:253
역사
1944년 니콜라 부르바키의 프랑스 수학자 장 디외도네가 처음으로 제시하였다.[3]