제2 가산 공간

일반위상수학에서, 제2 가산 공간(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상공간이다.

정의

제2 가산 공간은 가산 기저를 갖는 위상공간이다.

성질

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 제1 가산 공간이다.
• 분해 가능 공간이다.
• 린델뢰프 공간이다.

거리 공간 $M$에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.

• $M$은 제2 가산 공간이다.
• $M$은 분해 가능 공간이다.
• $M$은 린델뢰프 공간이다.

우리손 거리화 정리(영어: Urysohn metrization theorem)에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간은 거리화될 수 있다.

제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다. 제2 가산 공간의 열린 집합의 수는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이다. 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이다.

예

흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

• 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$
• 가산 이산 공간
• 다양체 (제2 가산 하우스도르프 국소 유클리드 공간)

긴 직선은 T₄ 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

참고 문헌

• Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기

• 제1 가산 공간
• 분해 가능 공간