가해군: 두 판 사이의 차이
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을 가지고, 또한 모든 <math>G_{i+1}/G_i</math>가 [[아벨 군]]이라면 <math>G</math>를 '''가해군'''이라고 한다. |
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이며 모든 <math>G_{i+1}/G_i</math>가 [[순환군]]이라면 <math>G</math>를 '''초가해군'''(超可解群{{llang|en|supersolvable group}})이라고 한다. 모든 초가해군은 가해군이나, 그 역은 성립하지 않는다. |
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2013년 12월 27일 (금) 06:09 판
군론에서, 가해군(可解群, 영어: solvable group)은 아벨 군들만을 사용한 군의 확대로 나타낼 수 있는 군이다.
역사
가해군의 개념은 갈루아 이론에서 최초로 등장하였다. 갈루아 이론에서, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대는 거듭제곱근으로 풀 수 있기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 오늘날 가해군의 개념은 갈루아 이론뿐만 아니라 군론 전반적으로 널리 쓰인다.
정의
을 가지고, 또한 모든 가 아벨 군이라면 를 가해군이라고 한다.
을 가지고, 또한
이며 모든 가 순환군이라면 를 초가해군(超可解群영어: supersolvable group)이라고 한다. 모든 초가해군은 가해군이나, 그 역은 성립하지 않는다.
예
모든 아벨 군은 (자명하게) 가해군이다. 모든 멱영군은 가해군이다.
가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 60인) 교대군 이다. 다시 말해, 크기가 59 이하인 모든 군은 가해군이다. 가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A056866)
- 60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, …
파이트-톰슨 정리에 따르면, 크기가 홀수인 모든 유한군은 가해군이다.
번사이드 정리에 따르면, 크기가
의 꼴인 유한군은 가해군이다. 여기서 는 소수이고, 는 음이 아닌 정수다.
성질
- 정규부분군 를 가지는 군 가 가해군일 조건은 과 몫군 둘 다 가해군일 조건과 동치이다.
- 가해군의 부분군은 가해군이다.
- 두 가해군의 반직접곱은 가해군이다. (특수한 경우로, 유한 개의 가해군의 직접곱은 가해군이다.)
- 두 가환군의 화환군(wreath product)은 가해군이다.
참고 문헌
- Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra[[분류:영어 표기를 포함한 문서|가해군]]》 3판. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. URL과 위키 링크가 충돌함 (도움말)