파라콤팩트 공간: 두 판 사이의 차이

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2013년 7월 26일 (금) 16:06 판

파라컴팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 위상공간으로서, 컴팩트 공간을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. 미분위상수학 및 미분기하학 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라컴팩트 공간이며, 이 공간은 단위 분할(partition of unity) 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 리만 계량, 미분 형식의 적분 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.^[1]^:68 1944년 부르바키의 프랑스 수학자 장 디외도네가 처음으로 제시하였다.^[2]

정의

파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.^[1]^:68

위상공간 X가 파라콤팩트 공간일 필요충분조건은 X의 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 갖는 것이다.

X의 열린 덮개 $\{U_{\alpha }\}$ 가 국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 $W_{x}$ 가 존재하여 유한 개의 $\alpha$ 에 대해서만 $W_{x}\cap U_{\alpha }\neq \phi$ 을 만족한다는 의미이다.^[1]^:68

성질

파라콤팩트 공간은 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.

콤팩트 공간은 파라컴팩트 공간이다.
파라콤팩트 공간은 메조컴팩트 공간이자 준파라컴팩트 공간이다.
파라콤팩트인 희박 컴팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
준파라콤팩트인 정칙공간은 파라콤팩트 공간이다.
(디외도네의 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 $T_{4}$ 공간이다.^[3]^:253
파라콤팩트 공간의 닫힌 부분공간은 파라콤팩트 공간이다.^[3]^:254
(모리타의 정리) $T_{4}$ $T_{4}$ 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[3]^:257
- 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, 정칙공간 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다.
(스미르노프 거리공간화 정리) 위상공간에 대하여 '파라콤팩트 $T_{2}$ 이고 국소적 거리화 가능'이라는 성질은 '거리공간화 가능'이라는 성질과 동치이다.^[3]^:261
파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.^[3]^:260
위상공간 X가 $T_{4}$ 공간일 때, X에서 유한 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 합집합 역시 파라컴팩트 집합이다.^[3]^:260
위상공간 X가 $T_{4}$ 공간일 때, X에서 가산 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 내부가 이루는 집합족이 X의 덮개가 될 때, 그 합집합 역시 파라컴팩트 집합이다.^[3]^:260
위상공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 완전사상이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때 X도 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[3]^:260
G가 국소 콤팩트 연결공간인 위상군이라면, G는 파라콤팩트 공간이다.^[3]^:261

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 컴팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.^[3]^:253

주석

↑ ^가 ^나 ^다 조용승, 《위상수학》, 경문사, 2010
↑ Dieudonné, Jean (1944). “Une généralisation des espaces compacts”. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 23: 65–76. ISSN 0021-7824. MR 0013297.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.

참고 문헌

James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall
조용승, 《위상수학》, 경문사, 2010

[조용승-1] 가 ^나 ^다 조용승, 《위상수학》, 경문사, 2010

[2] Dieudonné, Jean (1944). “Une généralisation des espaces compacts”. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 23: 65–76. ISSN 0021-7824. MR 0013297.

[Munkres-3] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.

[1]

[2]

[3]

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-'''파라컴팩트 공간'''(paracompact空間, {{llang|en|paracompact space}})은 [[위상공간 (수학)|위상공간]]으로서, [[컴팩트 공간]]을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. [[미분위상수학]] 및 [[미분기하학]] 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라컴팩트 공간이며, 이 공간은 [[단위 분할]](partition of unity) 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 [[리만 계량]], [[미분 형식]]의 [[적분]] 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.<ref name="a">조용승, 《위상수학》, 경문사, 2010, 68쪽.</ref> [[1944년]] [[부르바키]]의 [[프랑스]] 수학자 [[장 디외도네]]가 처음으로 제시하였다.<ref>{{저널 인용|성=Dieudonné|이름=Jean|날짜=1944|제목=Une généralisation des espaces compacts|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)|권=23|쪽=65–76|issn=0021-7824|mr=0013297|언어고리=fr}}</ref>
+'''파라컴팩트 공간'''(paracompact空間, {{llang|en|paracompact space}})은 [[위상공간 (수학)|위상공간]]으로서, [[컴팩트 공간]]을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. [[미분위상수학]] 및 [[미분기하학]] 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라컴팩트 공간이며, 이 공간은 [[단위 분할]](partition of unity) 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 [[리만 계량]], [[미분 형식]]의 [[적분]] 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.<ref name="조용승">조용승, 《위상수학》, 경문사, 2010</ref>{{rp|68}} [[1944년]] [[부르바키]]의 [[프랑스]] 수학자 [[장 디외도네]]가 처음으로 제시하였다.<ref>{{저널 인용|성=Dieudonné|이름=Jean|날짜=1944|제목=Une généralisation des espaces compacts|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)|권=23|쪽=65–76|issn=0021-7824|mr=0013297|언어고리=fr}}</ref>
 == 정의 ==
-파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.<ref name="a"/>
+파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.<ref name="조용승"/>{{rp|68}}
 * 위상공간 X가 파라콤팩트 공간일 필요충분조건은 X의 모든 [[열린 덮개]]가 국소적 유한(locally finite) [[세분]](refinement) 열린 덮개를 갖는 것이다.
-X의 [[열린 덮개]] <math>\{U_{\alpha}\}</math>가 '''국소적 유한'''이라는 것은, x∈X마다 그 근방 <math>W_x</math> 가 존재하여 유한 개의 <math>\alpha</math> 에 대해서만 <math>W_x \cap U_{\alpha} \ne \phi</math> 을 만족한다는 의미이다.<ref name="a"/>
+X의 [[열린 덮개]] <math>\{U_{\alpha}\}</math>가 '''국소적 유한'''이라는 것은, x∈X마다 그 근방 <math>W_x</math> 가 존재하여 유한 개의 <math>\alpha</math> 에 대해서만 <math>W_x \cap U_{\alpha} \ne \phi</math> 을 만족한다는 의미이다.<ref name="조용승"/>{{rp|68}}
 == 성질 ==
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 * 콤팩트 공간은 파라컴팩트 공간이다.
-* 파라콤팩트 공간은 [[메조컴팩트 공간]]이다.
+* 파라콤팩트 공간은 [[메조컴팩트 공간]]이자 [[준파라컴팩트 공간]]이다.
-* 파라콤팩트인 [[희박 컴팩트 공간]]은 컴팩트 공간이다.
+* 파라콤팩트인 [[희박 컴팩트 공간]]은 콤팩트 공간이다.
-* 파라콤팩트 공간은 [[준파라컴팩트 공간]]이다.
 * 준파라콤팩트인 [[정칙공간]]은 파라콤팩트 공간이다.
-* ('''디외도네의 정리''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]은 <math>T_4</math>공간이다.<ref name="d">James R. Munkres (2000), ''Topology'', Prentice Hall, p.253.</ref>
+* ('''디외도네의 정리''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]은 <math>T_4</math>공간이다.<ref name="Munkres">James R. Munkres (2000), ''Topology'', Prentice Hall.</ref>{{rp|253}}
-* 파라콤팩트 공간의 [[닫힌 집합|닫힌]] [[부분공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref>''Ibid.'', p.254.</ref>
+* 파라콤팩트 공간의 [[닫힌 집합|닫힌]] [[부분공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|254}}
-* ('''모리타의 정리''') <math>T_4</math> [[린델뢰프 공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref>''Ibid.'', p.257.</ref>
+* ('''모리타의 정리''') <math>T_4</math> [[린델뢰프 공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|257}}
-** 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, [[정칙공간]] 조건과 파라컴팩트 조건은 동치이다.
+** 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, [[정칙공간]] 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다.
-* ('''[[스미르노프 거리공간화 정리]]''') 위상공간에 대하여 '파라컴팩트 <math>T_2</math> 이고 국소적 거리화 가능'이라는 성질은 '거리공간화 가능'이라는 성질과 동치이다.<ref name="c">''Ibid.'', p.261.</ref>
+* ('''[[스미르노프 거리공간화 정리]]''') 위상공간에 대하여 '파라콤팩트 <math>T_2</math> 이고 국소적 거리화 가능'이라는 성질은 '거리공간화 가능'이라는 성질과 동치이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
-* 파라컴팩트 공간과 컴팩트 공간의 [[곱공간]]은 파라컴팩트 공간이다.<ref name="b">''Ibid.'', p.260.</ref>
+* 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
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+* 위상공간 X가 <math>T_4</math>공간일 때, X에서 [[유한집합|유한 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[합집합]] 역시 파라컴팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
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+* 위상공간 X가 <math>T_4</math>공간일 때, X에서 [[가산집합|가산 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[내부]]가 이루는 [[집합족]]이 X의 덮개가 될 때, 그 합집합 역시 파라컴팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
-* 위상공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 [[완전사상]]이 존재한다면, Y가 파라컴팩트일 때 X도 파라컴팩트이고, Y가 파라컴팩트 하우스도르프 공간일 때 X도 파라컴팩트 하우스도르프 공간이다.<ref name="b"/>
+* 위상공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 [[완전사상]]이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 X도 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
-* G가 [[국소 콤팩트]] [[연결공간]]인 [[위상군]]이라면, G는 파라콤팩트 공간이다.<ref name="c"/>
+* G가 [[국소 콤팩트]] [[연결공간]]인 [[위상군]]이라면, G는 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
-한편, 일반적으로 파라컴팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라컴팩트 공간이 되지 않으므로 파라컴팩트성은 [[유전적 성질]]이 아니다. 또한, 컴팩트 공간들을 모으면 [[티호노프 정리]]에 의해 그 곱공간 역시 컴팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라컴팩트 공간의 임의의 [[곱공간]]은 파라컴팩트 공간이 되지 않는다.<ref name="d"/>
+한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 [[유전적 성질]]이 아니다. 또한, [[컴팩트 공간]]들을 모으면 [[티호노프 정리]]에 의해 그 곱공간 역시 [[콤팩트 공간]]이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.<ref name="Munkres"/>{{rp|253}}
 == 주석 ==