추상대수학에서 요르단 삼항 대수(Jordan三項代數, 영어: Jordan triple algebra)는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모든 요르단 대수와, 특정한 대합을 갖는 등급 리 대수는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 “등각 변환”으로 구성되는 더 큰 리 대수가 존재한다. 이 구성을 칸토르-쾨허-티츠 구성(Кантор-Koecher-Tits構成, 영어: Kantor–Koecher–Tits construction)이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수(E₇, E₆, F₄)를 구성할 수 있다.
요르단 삼항 대수[편집]
표수가 2가 아닌 체
위의 요르단 삼항 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.[1]
-벡터 공간 ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
-선형 변환
, ![{\displaystyle x\otimes y\otimes z\mapsto \langle xyz\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae64e566a50518cc0c7bd6e9fb2acb556aa0df1)
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- (대칭성)
![{\displaystyle \langle x,y,z\rangle =\langle z,y,x\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb006b1fcc0aa32708288551ebf716baf208594a)
![{\displaystyle \langle u,v,\langle x,y,z\rangle \rangle -\langle x,y,\langle u,v,z\rangle \rangle =\langle \langle u,v,x\rangle ,y,z\rangle -\langle x,\langle y,u,v\rangle ,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8254d9e117eb2910cc5a7926e2e6ffbef805a7b8)
요르단 대수 → 요르단 3항 대수[편집]
요르단 대수
가 주어졌을 때
![{\displaystyle \langle x,y,z\rangle =(x\star y)\star z+x\star (y\star z)-y\star (x\star z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fbdc59a97422513dfe23f072f74e2f1454c5922)
를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.
리 대수 → 요르단 3항 대수[편집]
위의 리 대수
가
값의 등급을 갖는다고 하자.
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e8629e5a3c78dd620b3290416d7e1203b277f2)
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {g}}_{i}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5edbb5055e5862b3d59b123fa45818fde26534d9)
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{1}]=[{\mathfrak {g}}_{-1},{\mathfrak {g}}_{-1}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3afe2dbd855ac1d460e3cb3317160df4a3840e5)
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{-1}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2cf02fee5f749aebf6c6929bbe0f1ca93badec)
또한,
-선형 변환
이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
는 리 대수의 자기 동형을 이룬다.
- (대합)
![{\displaystyle \tau (\tau (x))=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701f689cf588dcbbb0071bf1a7df53431981a44f)
- (등급과의 호환)
![{\displaystyle \tau (x)\in {\mathfrak {g}}_{-i}\forall i\in \{0,\pm 1\},\;x\in {\mathfrak {g}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8075cc2c6d312e4a1751f279c14aa9fc693192b8)
그렇다면,
![{\displaystyle \langle x,y,z\rangle =[[x,\tau (y)],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b4298cb1537e84082cc50f44744e1906cc4b3c)
를 정의하면
는 요르단 3항 대수를 이룬다.
요르단 3항 대수 → 리 대수[편집]
이제, 요르단 3항 대수
가 주어졌을 때, 다항 함수
의 결합 대수
![{\displaystyle A\otimes K[A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf229883c881c9e7722a51c7d3116c778887f950)
를 생각하자. 이는 함수의 합성에 의하여 자연수 등급의 등급 대수를 이루며, 대수의 연산을 리 괄호
만 남기고 잊으면 이는 등급 리 대수를 이룬다.
이제, 다음과 같은 세
-벡터 공간을 정의하자.
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}=\{x\mapsto a\colon a\in A\}=(A\otimes _{K}K[A])_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0eda2fe5739ce5642f353cfda2d33e5494995d)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\operatorname {Span} _{K}\{x\mapsto \langle a,b,x\rangle \colon a,b\in A\}\subseteq (A\otimes _{K}K[A])_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b7c749b72fbc897930e3ae037873728a910b6a)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}=\left\{x\mapsto -{\frac {1}{2}}\langle x,u,x\rangle \colon u\in A\right\}\subseteq (A\otimes _{K}K[A])_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb42b1c8ca5794b80e449243c15d48bec5cea561)
이는
위의 상수 함수 · 선형 함수 · 2차 함수로 구성된다.
이는 일반적으로
의 함수의 합성에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 리 괄호에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다.
즉, 이는
-리 대수를 이루며, 또한
값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는
![{\displaystyle \tau \colon {\mathfrak {g}}_{i}\mapsto {\mathfrak {g}}_{-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbf8fe32afcf73f4e1f517da5aaef559bc398de)
![{\displaystyle \tau \colon ((x\mapsto u)\in {\mathfrak {g}}_{-1})\mapsto ((x\mapsto -{\tfrac {1}{2}}\langle x,u,x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6ede37fec5e0802d3b4316153b2ab372d62d9e)
![{\displaystyle \tau \colon ((x\mapsto \langle u,v,x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{0})\mapsto ((x\mapsto \langle \tau (u),\tau (v),x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b103798bb922509661dcb5c0b6a9dcd315067c3c)
와 같은 대합이 주어진다.
이를
에 대응되는 칸토르-쾨허-티츠 구성이라고 하며,
로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 리 대수를
로 표기한다.
만약
가 항등원을 갖는 요르단 대수를 이룬다면, 리 대수 준동형
![{\displaystyle K\to {\mathfrak {con}}_{0}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842cb9355692483e957a8139fba0bc47b6e6f52e)
![{\displaystyle \alpha \mapsto (x\mapsto \alpha x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122a240819b71c19c4534de130ef550a5ce51217)
이 존재한다. (여기서 정의역은 아벨 리 대수이다.) 또한, 그 치역은 리 대수의 중심의 부분이므로 리 대수 아이디얼을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를
![{\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}'({\mathfrak {A}})={\frac {{\mathfrak {con}}_{0}}{K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f789aa291eb7c057a3c01a2356dd10c3ee81d0)
로 표기하자. 사실,
의 모든 원소는
![{\displaystyle T={\frac {1}{\dim _{K}A}}\operatorname {tr} (T)+\left(T-{\frac {1}{\dim _{K}A}}\operatorname {tr} (T)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d0c5d01758dbba256ece5689440e67812b5a21)
와 같이 대각합과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합
![{\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}(A)=K\oplus {\mathfrak {con}}'_{0}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82b241fc961a1297e6ea87154fe56c791acbb25)
을 이룬다.
또한,
가 요르단 대수일 때, 그 이항 연산
을 보존하는 미분 리 대수
가 존재하며, 이는
의 부분 대수를 이룬다.
![{\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\subseteq {\mathfrak {con}}_{0}'(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f6583d1e7f91035b7e15ba6fd21fe884b1a2f0)
요르단 대수에 대응되는 리 대수의 예는 다음과 같다.[2]:§§4–5
요르단 대수
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(앨버트 대수)
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(E₇ 리 대수)
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(E₆ 리 대수)
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(콤팩트 F₄ 리 대수)
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여기서
는
계수의
에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수이다.
는 실수체 (
), 복소수체 (
), 사원수 대수 (
), 팔원수 대수 (
) 가운데 하나이다.
의
등급 및 대합은 등각 대칭군으로서 주어진다. 즉, 우변을
차원 민코프스키 공간 위의 등각 변환들의 군으로 여긴다.
칸토어-쾨허-티츠 구성은 자크 티츠[3] · 이사이 리보비치 칸토르[4](러시아어: Исай Львович Кантор, 1936~2006) · 막스 쾨허[5](독일어: Max Koecher, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다.
참고 문헌[편집]