실수의 완비성

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해석학에서 실수의 완비성(영어: completeness of the real numbers)은 실수의 핵심적 성질 중 하나로, 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미의 성질이다. 완비성은 실수의 공리로서 표현되는 경우가 많은데, 가장 많이 사용되는 것은 상한공리(최소상계공리, 영어: least upper bound axiom), 즉 위로 유계인 실수의 부분집합은 항상 상한이 존재한다는 공리이다. 실수의 완비성을 기술하는 공리는 그 밖에도 여럿이 있으며, 이들은 서로 동치이다, 즉 어느 하나라도 다른 실수 공리와 함께 놓았을 때 똑같은 실수를 묘사하게 되며, 나머지 공리들을 유도해낼 수 있다. 아래의 내용은 실수의 완비성 공리의 여러가지 서술, 그리고 서로 다른 공리 간의 유추의 예시를 포함한다.

상한 공리[편집]

모든 위로 유계인 실수 부분집합은 상한을 갖는다.

비슷하계 위와 동등한 공리로 하한공리가 있다.

모든 아래로 유계인 실수 부분집합은 하한을 갖는다.