실수의 완비성

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실수완비성은 실수의 핵심적 성질 중 하나로, 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미로 해석된다. 실수가 공리적으로 처리되는 경우, 완비성은 순서체 공리와 함께 실수 공리를 이룬다. 실수가 실체 있게 구성되는 경우, 완비성(의 여러 표현)은 곧 구성으로부터 증명되는 정리이다.

완비성 공리는 여러 가지 표현 형식이 있으며, 각기 다른 각도와 강조점이 있다. 가장 많이 사용되는 표현은 상한공리(최소상계공리, least upper bound axiom), 즉 공집합이 아닌, 위로 유계인 실수의 부분집합은 항상 상한이 존재한다는 공리이다. 완비성 공리의 표현 방식은 그 밖에도 여럿이 있으며, 이들은 서로 동치이다, 즉 어느 하나라도 순서체 공리와 함께 놓았을 때 똑같은 실수를 기술하게 되며, 나머지 표현 형식들을 유도해낼 수 있다. 본 문서는 실수의 완비성 공리의 여러가지 서술, 그리고 서로 다른 형식 간의 유추의 예시를 담는다.

상한공리[편집]

상한공리는 실수의 완비성을 상한을 통해 서술한다:

상한공리: 실수의 부분집합이 공집합이 아니고 위로 유계이면, 반드시 상한을 갖는다.

상한공리와 비슷하고 동등한 공리로 하한공리가 있다.

하한공리: 실수의 부분집합이 공집합이 아니고 아래로 유계이면, 반드시 하한을 갖는다.

상한의 존재성이 직관적으로 가져오는 실수에 대한 결론 중 하나는 거듭제곱근의 존재성이다. 임의의 실수 과 양의 정수 에 대해, 제곱 해서 가 되는 실수는 다음과 같이 상한을 통해 만들어진다.

단조수렴정리[편집]

단조수렴정리: 단조증가하고 위로 유계인 실수열은 수렴한다.

축소구간정리[편집]

축소구간정리는 여러모로 단조수렴정리와 유사하다.

축소구간정리: 폐구간

이고(즉 축소하고), 이면, 모든 에 속하는 실수가 유일하게 존재한다. 달리 말해

한원소집합이다.

볼차노-바이어슈트라스 정리[편집]

하이네-보렐 정리[편집]