실수의 완비성

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실수의 완비성은 실수의 핵심적 성질 중 하나로, 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미로 해석된다. 실수가 공리적으로 처리되는 경우, 완비성은 순서체 공리와 함께 실수 공리를 이룬다. 실수가 실체 있게 구성되는 경우, 완비성(의 여러 표현)은 곧 구성으로부터 증명되는 정리이다.

완비성 공리는 여러 가지 표현 형식이 있으며, 각기 다른 각도와 강조점이 있다. 가장 많이 사용되는 형식은 상한 공리(최소 상계 공리, 영어: least upper bound axiom)이다. 완비성 공리의 표현 방식 가운데 일부는 상한 공리와 동치이다. 즉, 그들 중 어느 하나라도 순서체 공리와 함께 놓았을 때 똑같은 실수를 기술하게 되며, 나머지 표현 형식들을 유도해낼 수 있다. 그러나, 일부는 상한 공리보다 더 약하며, 아르키메데스 성질을 추가하면 동치가 된다. 본 문서는 실수의 완비성 공리의 여러 형식 및 그들 사이의 함의 관계를 담는다.

완비성 공리[편집]

상한 공리[편집]

상한 공리는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.

증명(세 가지 서술의 동등성):

상한 공리 가정 아래, 실수 부분 집합 이 하계를 갖는다고 하자. 그렇다면,

의 하한이다.

비슷하게, 하한 공리 가정 아래 상한 공리를 증명할 수 있다.

단조 수렴 정리[편집]

단조 수렴 정리는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.

증명(세 가지 서술의 동등성):

바로 위 증명과 비슷하게, 단조 감소하며 하계를 갖는 수열 은 단조 증가하며 상계를 갖는 수열 에 대응한다는 데 주의하여 증명할 수 있다.

축소 구간 정리[편집]

닫힌 구간의 열

를 만족한다고 하자. 축소 구간 정리에 따르면,

이게 되는 이 존재하며, 더 일반적으로, 두번째 전제를 제거하였을 때,

이게 되는 이 존재한다.

정리의 앞부분은 뒷부분에 포함되는 더 약한 명제이다.

하이네-보렐 정리[편집]

실수 부분 집합 에 대하여, 를 만족시키는 실수 부분 집합족 덮개라고 한다.

하이네-보렐 정리에 따르면, 실수 유계 닫힌 구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌 구간을 어떤 열린 구간들로 "덮을" 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 "덮을" 수 있다. (즉, 실수 유계 닫힌집합은 항상 콤팩트 집합이다.)

극한점 성질[편집]

실수 부분 집합 극한점은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 실수 이다.

  • 임의의 에 대하여, 이다.
  • 임의의 에 대하여, 는 무한 집합이다.

실수 유계 무한 집합은 극한점을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 극한점 콤팩트 공간이다.

볼차노-바이어슈트라스 정리[편집]

볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.

코시 수열 수렴[편집]

실수 코시 수열은 수렴 수열이다. 즉, 실수 집합은 완비 거리 공간이다.

유리수와의 비교[편집]

유리수 순서체 는 아르키메데스 순서체이지만, 완비 순서체가 아니다. 다음 현상은 이를 반영한다.

유리수 부분 집합

는 상계 를 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다.

유리수 코시 수열

는 실수 수열로서는 원주율 로 수렴하지만, 유리수에서 수렴하지 못한다.

함의 관계[편집]

실수 순서체 공리 아래, 다음 공리들이 서로 동치이다. (위 증명들에 따른 것이다.)

  • 상한 공리
  • 단조 수렴 정리
  • 축소 구간 정리
  • 하이네-보렐 정리
  • 극한점 성질
  • 볼차노-바이어슈트라스 정리
  • 코시 수열 수렴 + 아르키메데스 성질
  • 약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질

또한, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

  • 코시 수열의 수렴성 ⇒ 약한 축소 구간 정리

코시 수열의 수렴성과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며, 아르키메데스 성질을 추가하면 나머지 공리들과 동치이다.

증명(상한 공리 ⇒ 단조 수렴 정리):

상한 공리 가정 아래, 이 단조 증가하며 상계를 갖는 수열이라고 하자. 그렇다면, 그 집합으로서의 상한 가 존재한다. 즉,

이며, 임의의 에 대하여, 은 상계가 아니다. 즉,

이게 되는 이 존재한다. 따라서, 로 수렴한다.

증명(단조 수렴 정리 ⇒ 축소 구간 정리):

단조 수렴 정리 가정 아래, 구간의 열 이 위 두 전제 조건을 만족한다고 하자. 그렇다면,

이므로 둘 다 단조 유계 수열이다. 따라서 각자 어떤 로 수렴한다. 또한, 극한의 순서 보존에 따라,

이며, 따라서 이다.

이제 라고 하자. 그러면 라고 가정하여도 무방하다. 극한의 성질에 따라, 이게 되는 이 존재하므로, 이다.

증명(축소 구간 정리 ⇒ 아르키메데스 성질):

(아르키메데스 성질은 바로 아래 증명에서 사용된다.) 축소 구간 정리 가정 아래, 임의의 에 대하여 이게 되는 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 구간열

은 축소 구간 정리의 첫번째 전제를 만족한다. 따라서,

이게 되는 이 존재한다. 또한, 임의의 에 대하여 이다. 그러나, 이므로, , 즉, , 즉, 이 존재하며, 이는 모순이 된다.

증명(축소 구간 정리 ⇒ 하이네-보렐 정리):

축소 구간 정리 가정 아래, 유계 닫힌 구간 의 어떤 열린 구간 덮개 가 유한 부분 덮개를 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 이를 등분하여 얻는 두 부분 구간 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 이 존재한다. 마찬가지로, 을 등분하여 얻는 두 부분 구간 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 가 존재한다. 이를 반복하면, 닫힌 구간의 열 을 얻으며, 아르키메데스 성질(축소 구간 정리로부터 함의된다)에 따라

이므로, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 또한, 그 속의 모든 구간은 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 따라서,

이게 되는 이 존재하며, 사실

이다. 따라서, 이게 되는 가 존재한다.

가 열린 구간이므로, 는 구간의 끝점이 아니다. 따라서 의 양끝점과 와의 거리는 모두 양수이다. 그 가운데 가장 작은 하나를 이라고 하자. 그렇다면, 이므로,

이게 되는 이 존재한다. 이는 의 덮개라는 의미이며, 이는 이 유한 부분 덮개를 갖지 않는다는 것과 모순이 된다.

증명(하이네-보렐 정리 ⇒ 극한점 성질):

하이네-보렐 정리 가정 아래, 어떤 유계 무한 집합 이 극한점을 갖지 못한다고 하자. 즉, 임의의 에 대하여,

이게 되는

이 존재한다. 그렇다면,

의 열린 구간 덮개이므로, 유한 부분 덮개

을 갖는다. 이에 따라,

이며, 이는 가 무한 집합인 데 모순이다.

증명(극한점 성질 ⇒ 볼차노-바이어슈트라스 정리):

첫번째 명제 아래, 이 유계 수열이라고 하자.

만약 에 서로 같은 무한 개의 항이 존재한다면, 당연히 그들은 수렴 부분 수열을 이룬다.

만약 서로 같은 무한 개의 항이 존재하지 않는다면, 은 집합으로서 무한 집합이며, 따라서 극한점 를 갖는다. 즉, 임의의 에 대하여,

은 무한 집합이다. 따라서,

로 정의된 의 수렴 부분 수열이다.

증명(볼차노-바이어슈트라스 정리 ⇒ 코시 수열 수렴):

볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, 이 코시 수열이라고 하자. 그렇다면, 코시 수열의 성질에 따라, 이는 유계 수열이며, 수렴 부분 수열 를 갖는다. 따라서, 임의의 에 대하여, 임의의 에 대하여 이게 되는 이 존재한다. 또한, 임의의 에 대하여 이게 되는 가 존재한다. 따라서, 임의의 에 대하여,

이게 된다. 즉, 이다.

증명(볼차노-바이어슈트라스 정리 ⇒ 아르키메데스 성질):

볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, 임의의 에 대하여 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 은 유계 수열이며, 따라서 수렴 부분 수열 이 존재한다. 극한의 순서 보존에 따라, 임의의 에 대하여 이며, 따라서 임의의 에 대하여 이다. 그러나, 극한의 정의에 따라 , 즉, 이 존재하며, 이는 모순이다.

증명(코시 수열 수렴 ⇒ 약한 축소 구간 정리):

코시 수열의 수렴성 가정 아래, 닫힌 구간의 열 이 축소 구간 정리의 전제를 만족한다고 하자. 그렇다면,

이다. 즉, , 모두 코시 수열이며, 따라서 수렴 수열이다. 물론 두 수열의 극한은 같으며, 이를 라고 하자. 그렇다면, 극한의 순서 보존에 따라

이며, 따라서 이다.

이제 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 이게 되는 이 존재하므로,

이다. 따라서, 이다.

증명(약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질 ⇒ 상한 공리):

축소 구간 정리 및 아르키메데스 성질 가정 아래, 이 상계 를 갖는다고 하자. 그렇다면, 닫힌 구간의 열

와 같이 정의되었을 때, 아르키메데스 성질에 따라, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 따라서, 이 존재한다. 또한, 임의의 에 대하여, 의 원소, 의 상계이다.

임의의 에 대하여,

이 존재하며,

이 존재하므로, 의 상한이다.

참고 문헌[편집]

  • 伍胜健 (2009). 《数学分析》 [해석학] (중국어) 1 초판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.