초다양체

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초다양체(超多樣體, 영어: supermanifold)는 초대칭을 고려하여 다양체의 개념을 일반화시킨 것이다. 비가환 다양체의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, 미분기하학 등을 할 수 있다.

정의[편집]

초공간[편집]

음이 아닌 정수 를 생각하자. (보손적 차원의 수, 페르미온적 차원의 수다.) 차원의 초공간은 다음과 같은 데이터로 주어진 환 달린 공간이다.

  • 실수 벡터 공간 , (, )
  • 자명한 벡터 다발
  • 매끄러운 단면으로 구성되는, 등급 실수 결합 대수의 층

이 층의 단면

은 다음과 같이 “테일러 급수” 전개를 갖는다.

이에 따라, 이는 “가환 좌표” 와 “반가환 좌표” 에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다.

환 달린 공간로 표기하자.

초다양체[편집]

음이 아닌 정수 를 생각하자. (보손적 차원의 수, 페르미온적 차원의 수다.) 차원의 초다양체다양체이자, 국소적으로 동형환 달린 공간이다.

이는 일반적 매끄러운 다양체의 정의 (국소적으로 와 동형인 환 달린 공간)과 유사하다.

분류[편집]

매끄러운 다양체라고 하고, 위의 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 외대수 매끄러운 단면들의 을 갖춘 은 초다양체를 이룬다. 이를 라고 쓴다. 매끄러운 벡터 다발범주에서 초다양체의 범주로 가는 함자이다.

특히, (접다발)인 경우 미분 형식들의 이다.

배첼러 정리(Batchelor定理, 영어: Batchelor's theorem)에 따르면, 이 함자는 사실상 전사 함자이다. 즉. 모든 초다양체는 의 꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 또한, 함자 는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다. 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다. 구체적으로, 두 매끄러운 벡터 다발 , 이 주어졌을 때, 그 사이의 벡터 다발 사상

은 초다양체의 사상

을 유도하는데, 층 단면의 밂

는 (외대수에서 유도되는) 값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은 차수만을 보존한다.

초다양체 사상의 분류[편집]

임의의 두 초다양체 , 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기서

  • 는 실수 위의, 등급을 갖는 실수 등급 대수범주이다.

즉, 이는 함자

를 정의한다. 또한, 이는 충실충만한 함자이다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]