월먼 콤팩트화

일반위상수학에서 월먼 콤팩트화(영어: Wallman compactification)는 임의의 T₁ 공간을 콤팩트 T₁ 공간으로 확장하는 방법이다. 대략, 유한 교집합 성질을 만족시키는 닫힌집합들의 집합족의 교집합이 공집합인 경우, 새로운 점을 이 교집합의 원소로 추가해 준다.

정의

T₁ 공간 $X$의 월먼 콤팩트화 $\omega X$는 집합으로서 $X$의 닫힌집합들의 부분 순서 집합 ${\mathcal {C}}(X)$의 극대 필터들의 집합이다. 이 위의 위상은 다음과 같은 기저를 통해 주어진다.

$\{\{{\mathcal {F}}\in \omega X\colon F\not \in {\mathcal {F}}\}\colon F\in {\mathcal {C}}(X)\}$

이 경우, $wX$는 콤팩트 T₁ 공간이며, 함수

$\iota \colon X\to \omega X$

$\iota \colon x\mapsto \{F\in {\mathcal {C}}(X)\colon x\in F\}$

는 위상수학적 매장이다. 이 함수의 상 $\iota (X)$은 $\omega X$의 조밀 집합이다. 또한, 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, ${\tilde {f}}\circ \iota =f$인 연속 함수 ${\tilde {f}}\colon \omega X\to Y$가 존재한다.

${\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\{\scriptstyle \iota }\downarrow &\nearrow {\scriptstyle {\tilde {f}}}\\\omega X\end{matrix}}$

성질

T₁ 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\omega X$는 하우스도르프 공간이다.
• $X$는 정규 공간이다.

이에 따라, 정규 T₁ 공간의 월먼 콤팩트화는 스톤-체흐 콤팩트화와 일치한다.

외부 링크

• “Wallman compactification”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Wallman compactification”. 《nLab》 (영어).