오퍼라드

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대수학대수적 위상수학에서, 오퍼라드(영어: operad)는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다.[1][2][3] 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

정의[편집]

자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주 에서, 대상 의 원소는 사상 로 정의하자.

대칭 모노이드 범주 에서의 오퍼라드 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • (연산 집합) 모든 자연수 에 대하여, 의 대상 . 의 원소를 각각 -항 연산(영어: n-ary operation)이라고 한다.
  • (항등 연산) 의 원소 . 이를 항등 연산(영어: unit)이라고 한다.
  • (변수의 치환) 각 자연수 에 대하여, 군 준동형 . 여기서 대칭군이다.
  • (연산의 합성) 자연수 에 대해, 함수들

이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.

  • (결합법칙) 모든 , , 에 대하여 (, ),
  • (항등원의 성질) 모든 에 대하여,
  • (치환의 작용) 모든 () 및 순열 에 대하여,
  • (치환의 작용) 모든 순열 ()에 대하여,
여기서 는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 대칭 모노이드 범주 속의 두 오퍼라드 , 사이의 사상 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 각 자연수 에 대하여, 사상 .

이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

  • (연산 합성의 보존) 모든 에 대하여,
  • (항등원의 보존)
  • (대칭군의 작용의 보존)

이에 따라, 에서의 오퍼라드들은 범주 를 이룬다.

오퍼라드의 모나드[편집]

집합의 데카르트 닫힌 범주 속의 오퍼라드 가 주어지면, 이로부터 위의 모나드 를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, 를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환 의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

오퍼라드의 대수[편집]

닫힌 대칭 모노이드 범주 의 대상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자명한 오퍼라드 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • 항 연산은 내부 준동형사상 대상 이다.
  • 연산의 합성은 의 결합성으로부터 유도된다.

이 경우, 에 대한 오퍼라드 위의 대수(영어: algebra over ) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 의 대상이다.
  • 는 오퍼라드 준동형사상 이다.

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자기준동형 오퍼라드[편집]

가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드(영어: endomorphism operad) 는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.[1]

  • 각 자연수 에 대하여,
  • 에 대하여,

초입방체 오퍼라드[편집]

양의 정수 에 대하여, 차원 초입방체 오퍼라드(영어: n-cubes operad) 는 다음과 같다.[1]

  • 개의 차원 초입방체 를 하나의 차원 초입방체 에 서로 겹치지 않고, 의 면들이 의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
  • 의 항등원은 초입방체 위의 항등 함수이다.
  • 에서, ()의 합성은 매장을 합성하여, 속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

결합법칙 오퍼라드[편집]

벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주 위에서 다음과 같은 오퍼라드 를 정의하자.

  • 항 연산은 차원 -벡터 공간 이다. 여기서 은 크기가 대칭군이다.
  • 의 작용은 군 의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
  • 의 연산의 합성은 군 준동형
의 선형 확장이다.

이 경우, 위의 대수는 결합 -대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

역사와 어원[편집]

존 피터 메이(영어: Jon Peter May)[4] 와 마이클 보드먼(영어: J. Michael Boardman), 라이너 폭트(독일어: Rainer M. Vogt)[5]호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다.[2] 메이에 따르면, "오퍼라드"(영어: operad 오퍼래드[*])는 영어: operation 오퍼레이션[*](연산)과 영어: monad 모내드[*](모나드)의 합성어이다.

이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

응용[편집]

수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 대수 (commutative algebra), 리 대수, 거스텐하버 대수(Gerstenhaber algebra), 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.

참고 문헌[편집]

  1. Stasheff, Jim (2004년 6월). “What is … an operad?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (6): 630–631. Zbl 1151.18301. 
  2. May, J. Peter (1997). 〈Operads, algebras and modules〉 (PDF). 《Operads: proceedings of renaissance conferences》. Contemporary Mathematics (영어) 202. American Mathematical Society. 15–31쪽. ISBN 978-0-8218-0513-8. Zbl 0879.18001. 
  3. Markl, Martin (2008년 3월). 〈Operads and PROPs〉. 《Handbook of algebra, volume 5》 (영어). 87–140쪽. arXiv:math/0601129. Bibcode:2006math......1129M. doi:10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 978-0-444-53101-8. Zbl 1211.18007. 
  4. May, J. P. (1972). 《The geometry of iterated loop spaces》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 271. Springer. doi:10.1007/BFb0067491. ISBN 978-3-540-05904-2. ISSN 0075-8434. Zbl 0244.55009. 
  5. Boardman, J. Michael; Rainer M. Vogt (1973). 《Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 347. Springer. doi:10.1007/BFb0068547. ISBN 978-3-540-06479-4. ISSN 0075-8434. Zbl 0285.55012. 

바깥 고리[편집]

  • “Operad”. 《nLab》 (영어). 
  • Zinbiel, Guillaume W. (2010). “Encyclopedia of types of algebras 2010” (영어). arXiv:1101.0267. 

같이 보기[편집]