대수학과 대수적 위상수학에서 오퍼라드(영어: operad)는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다.[1][2][3] 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.
자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주
에서, 대상
의 원소는 사상
로 정의하자.
대칭 모노이드 범주
에서의 오퍼라드
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- (연산 집합) 모든 자연수
에 대하여,
의 대상
.
의 원소를 각각
-항 연산(영어: n-ary operation)이라고 한다.
- (항등 연산)
의 원소
. 이를 항등 연산(영어: unit)이라고 한다.
- (변수의 치환) 각 자연수
에 대하여, 군 준동형
. 여기서
은 대칭군이다.
- (연산의 합성) 자연수
에 대해, 함수들
![{\displaystyle {\begin{matrix}P(n)\otimes P(n_{1})\otimes \cdots \otimes P(n_{n})&\to &P(n_{1}+\cdots +n_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto &\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac8bcb5501dba05859172b234ceeb082377478f)
이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.
- (결합법칙) 모든
,
,
에 대하여 (
,
),
![{\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,n_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,n_{n}}))=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,n_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,n_{n}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa440bb1a61f413f399d116f9bc1af0c5ab3ee4)
- (항등원의 성질) 모든
에 대하여,
![{\displaystyle \theta \circ (\overbrace {1,\ldots ,1} ^{n})=\theta =1\circ \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465b4fad7afa9418971bb0d19e2ad126e7e009bf)
- (치환의 작용) 모든
및
(
) 및 순열
에 대하여,
![{\displaystyle (\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n}))*\sigma =\theta \circ (\theta _{\sigma (1)},\dots ,\theta _{\sigma (n)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd811d5695874ef5531fa8329f5f118dd04585d)
- (치환의 작용) 모든
및
및 순열
(
)에 대하여,
![{\displaystyle (\theta \circ (\theta _{1}*\sigma _{1},\dots ,\theta _{n}*\sigma _{n}))=\left(\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n})\right)*\iota (\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbb0b6d24e65f5e2097f6fc4fd39dd6539e7461)
- 여기서
는 군의 자연스러운 포함 관계이다.
같은 대칭 모노이드 범주
속의 두 오퍼라드
,
사이의 사상
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 각 자연수
에 대하여, 사상
.
이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.
- (연산 합성의 보존) 모든
에 대하여,
![{\displaystyle f(\theta \circ _{P}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ _{Q}(f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8388970625f8a788fd252271764e465ad15f7d)
- (항등원의 보존)
![{\displaystyle f(1_{P})=1_{Q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98742fc26382dd7fb28a51a63297b4e8f1f0abf9)
- (대칭군의 작용의 보존)
이에 따라,
에서의 오퍼라드들은 범주
를 이룬다.
오퍼라드의 모나드[편집]
집합의 데카르트 닫힌 범주
속의 오퍼라드
가 주어지면, 이로부터
위의 모나드
를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합
는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데,
는
와
를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환
는
의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.
오퍼라드 대수[편집]
오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 대칭 모노이드 범주 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 오퍼라드 대수라고 한다.
자기준동형 오퍼라드[편집]
가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드(영어: endomorphism operad)
는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.[1]
- 각 자연수
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)(n)=\hom _{\mathcal {C}}(X^{n},X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e991e332c2d77db926503ab1d8186e0555cf02)
![{\displaystyle 1_{\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)}=\operatorname {id} _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e2f8bfe79e937e11c61f0f17d05a17f62864f3)
- 각
에 대하여,
![{\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n})=\theta \circ \otimes _{i=1}^{n}\theta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6ee5b9a3a3c035ff37b86dab19b1977acc5240)
초입방체 오퍼라드[편집]
양의 정수
에 대하여,
차원 초입방체 오퍼라드(영어: n-cubes operad)
는 다음과 같다.[1]
은
개의
차원 초입방체
를 하나의
차원 초입방체
에 서로 겹치지 않고,
의 면들이
의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
의 항등원은 초입방체
위의 항등 함수이다.
에서,
와
(
)의 합성은 매장을 합성하여,
를
속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.
결합법칙 오퍼라드[편집]
벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주
위에서 다음과 같은 오퍼라드
를 정의하자.
의
항 연산은
차원
-벡터 공간
이다. 여기서
은 크기가
인 대칭군이다.
의 작용은 군
의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
의 연산의 합성은 군 준동형
![{\displaystyle \operatorname {Sym} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {Sym} (n_{k})\to \operatorname {Sym} (n_{1}+\cdots +n_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7644d72dc5ccf9ddbdd191ef4d5839e5a62c818)
- 의 선형 확장이다.
이 경우,
위의 대수는 결합
-대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.
역사와 어원[편집]
존 피터 메이(영어: Jon Peter May)[4]와 마이클 보드먼(영어: J. Michael Boardman), 라이너 폭트(독일어: Rainer M. Vogt)[5] 가 호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다.[2] 메이에 따르면, "오퍼라드"(영어: operad 오퍼래드[*])는 영어: operation 오퍼레이션[*](연산)과 영어: monad 모내드[*](모나드)의 합성어이다.
“
|
‘오퍼라드’라는 이름은 내가 일주일 동안 이것만을 생각하여 고안해 낸 용어이다. 이름이 근사하게 들리는 것 말고도, 이는 ‘연산’(영어: operation 오퍼레이션[*])과 ‘모나드’가 연상되게 한 것이다. 덧붙이자면, 나는 매클레인에게 […] ‘트리플’(영어: triple) 대신 ‘모나드’를 사용하도록 설득하였다. 나는 오퍼라드의 개념이 중요하다는 것을 확신하였고, 용어들이 서로 호환되기를 바랐다.
The name “operad” is a word that I coined myself, spending a week thinking about nothing else. Besides having a nice ring to it, the name is meant to bring to mind both operations and monads. Incidentally, I persuaded MacLane to discard the term “triple” in favor of “monad” […]. I was convinced that the notion of an operad was an important one, and I wanted the names to mesh.
|
”
|
|
|
이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.
수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 결합 대수, 리 대수, 거스틴해버 대수, 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.
이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]
- “Operad”. 《nLab》 (영어).
- Zinbiel, Guillaume W. (2010). “Encyclopedia of types of algebras 2010” (영어). arXiv:1101.0267.
같이 보기[편집]