A∞-오퍼라드

오퍼라드 이론에서 A_∞-오퍼라드(영어: A_∞-operad)는 호모토피를 무시한다면 결합 법칙이 성립하는 대수들을 나타내는 오퍼라드이다.

정의

위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드 $A$에 대하여, 만약 $A(n)$이 (이산 공간의 위상을 준) 대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$과 호모토피 동치이며, 또한 $A(n)$ 위의 대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$의 작용이 군 위의 스스로의 작용과 같다면, $A$를 A_∞-오퍼라드라고 한다.

A_∞-대수

A_∞-오퍼라드를 벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현하면, A_∞-대수를 얻는다. A_∞-대수 $A$는 다음과 같이 정수 등급을 갖는 벡터 공간이며,

$A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A^{p}$

다음과 같은 무한한 수의 연산들을 갖는다. 모든 $n\geq 1$에 대하여, $n$항 $n$겹선형 연산

$m_{n}\colon A^{\oplus n}\to A$

$\deg m_{n}=2-n$

이 존재한다.

이들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든 $n\geq 1$에 대하여 다음이 성립한다.

$\sum _{r+s+t=n}(-1)^{r+st}m_{r+1+t}(a_{1},\dots ,a_{r},m_{s}(b_{1},\dots ,b_{s}),c_{1},\dots ,c_{t})=0\qquad \forall a_{i},b_{i},c_{i}\in A$

처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서 $m_{1}=\delta$, $m_{2}=\cdot$으로 쓰자.

• (공경계의 멱영성) $\delta ^{2}=0$
• (곱 규칙) $\delta (ab)=(\delta a)b+a(\delta b)$
• (호모토피 결합 법칙) $a(bc)-(ab)c=\delta m_{3}(a,b,c)+m_{3}(\delta a,b,c)+m_{3}(a,\delta b,c)+m_{3}(a,b,\delta c)$
• $m_{3}(ab,c,d)-m_{3}(a,bc,d)+m_{3}(a,b,cd)-m_{3}(a,b,c)d-am_{3}(b,c,d)=-\delta m_{4}(a,b,c,d)+m_{4}(\delta a,b,c,d)+m_{4}(a,\delta b,c,d)+m_{4}(a,b,\delta c,d)+m_{4}(a,b,c,\delta d)$
• $\vdots$

따라서, $(A,\delta )$는 공사슬 복합체를 이룬다.

두 A_∞-대수 $A$, $B$ 사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $n\geq 1$에 대하여, 차수 $1-n$인 겹선형 사상 $f_{n}\colon A^{\otimes n}\to B$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든 $n\geq 1$에 대하여,

$\sum _{r+s+t=n}(-1)^{r+st}f_{r+1+t}(a_{1},\dots ,a_{r},m_{s}(a_{r+1},\dots ,a_{r+s}),a_{r+s+1},\dots ,a_{n})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n}(-1)^{\sum _{\ell =1}^{k}(k-\ell )(i_{\ell }-1)}m_{r}(f_{i_{1}}(a_{1},\dots ,a_{i_{1}},f_{2}(\dots ),\dots ,f_{i_{k}}(\dots ,a_{n}))$

구체적으로, 처음 몇 $n$에 대하여 이 조건은 다음과 같다.

$f_{1}\circ \delta =\delta \circ f_{1}$

$f_{1}(a\cdot b)=f_{1}(a)\cdot f_{1}(b)+\delta f_{2}(a,b)+f_{2}(\delta a,b)+f_{2}(a,\delta b)$

$\vdots$

A_∞-대수 $A$의 코호몰로지 $H^{\bullet }(A)$를 취하자. 그렇다면, $H^{\bullet }(A)$ 위에도 자연스러운 A_∞-대수의 구조가 존재하며, 이 경우 $m_{1}=0$이 된다.

예

결합 오퍼라드는 $A(n)=\operatorname {Sym} (n)$인 오퍼라드이다. 즉, 결합 법칙이 (호모토피를 무시하지 않아도) 정확하게 성립하는 대수를 나타낸다.

작은 구간 오퍼라드(영어: little interval operad)의 경우, $A(n)$은 단위 구간 $(0,1)$ 속에 존재하는 $n$개의 서로소 열린 구간들의 공간이다.

참고 문헌

• Keller, Bernhard (2001). “Introduction to A-infinity algebras and modules”. 《Homology, Homotopy and Applications》 (영어) 3 (1): 1-35. arXiv:math/9910179. doi:10.4310/hha.2001.v3.n1.a1. ISSN 1532-0073. MR 1854636. Zbl 0989.18009. 
  • Keller, Bernhard (2002). “Addendum to: ‘Introduction to A-infinity algebras and modules’”. 《Homology, Homotopy and Applications》 (영어) 4 (1): 25–28. doi:10.4310/hha.2001.v3.n1.a2. ISSN 1532-0073. MR 1905779. 
• Vallette, Bruno (2014). 〈Algebra + homotopy = operad〉. 《Symplectic, Poisson and Noncommutative Geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 62. 101–162쪽. arXiv:1202.3245. Bibcode:2012arXiv1202.3245V. 
• Markl, Martin. “Transferring A_∞ (strongly homotopy associative) structures” (영어). arXiv:math/0401007. Bibcode:2004math......1007M. 

외부 링크

• “A-infinity operad”. 《nLab》 (영어). 
• “A-infinity-algebra”. 《nLab》 (영어).