오퍼라드 이론에서 A∞-오퍼라드(영어: A∞-operad)는 호모토피를 무시한다면 결합 법칙이 성립하는 대수들을 나타내는 오퍼라드이다.
위상 공간 위에 작용하는 오퍼라드
에 대하여, 만약
이 (이산 공간의 위상을 준) 대칭군
과 호모토피 동치이며, 또한
위의 대칭군
의 작용이 군 위의 스스로의 작용과 같다면,
를 A∞-오퍼라드라고 한다.
A∞-오퍼라드를 벡터 공간의 모노이드 범주 위에 표현하면, A∞-대수를 얻는다. A∞-대수
는 다음과 같이 정수 등급을 갖는 벡터 공간이며,
![{\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0977947e4f29db0730871a863cf730060169f9b0)
다음과 같은 무한한 수의 연산들을 갖는다. 모든
에 대하여,
항
겹선형 연산
![{\displaystyle m_{n}\colon A^{\oplus n}\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d20670a8adb112c9b68a6e2b9bce7d18d2fa91)
![{\displaystyle \deg m_{n}=2-n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8e6a38eff9a090c8a095258b7cf0c8875b2dc1)
이 존재한다.
이들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든
에 대하여 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{r+s+t=n}(-1)^{r+st}m_{r+1+t}(a_{1},\dots ,a_{r},m_{s}(b_{1},\dots ,b_{s}),c_{1},\dots ,c_{t})=0\qquad \forall a_{i},b_{i},c_{i}\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d81a9903d40418f22b2c7062c680b6046616cb)
처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서
,
으로 쓰자.
- (공경계의 멱영성)
![{\displaystyle \delta ^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038b07cc5dfd625802462fc47b38a88f1d709ce1)
- (곱 규칙)
![{\displaystyle \delta (ab)=(\delta a)b+a(\delta b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3cb9d4bb96d27bcacd77d17f3c2ca923ec86fb)
- (호모토피 결합 법칙)
![{\displaystyle a(bc)-(ab)c=\delta m_{3}(a,b,c)+m_{3}(\delta a,b,c)+m_{3}(a,\delta b,c)+m_{3}(a,b,\delta c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf08180fc0de1fa8cb3925f3d0a72aa0d38d796)
![{\displaystyle m_{3}(ab,c,d)-m_{3}(a,bc,d)+m_{3}(a,b,cd)-m_{3}(a,b,c)d-am_{3}(b,c,d)=-\delta m_{4}(a,b,c,d)+m_{4}(\delta a,b,c,d)+m_{4}(a,\delta b,c,d)+m_{4}(a,b,\delta c,d)+m_{4}(a,b,c,\delta d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff9895612c0688c01972d98f8f02eb943d14925)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
따라서,
는 공사슬 복합체를 이룬다.
두 A∞-대수
,
사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 각
에 대하여, 차수
인 겹선형 사상 ![{\displaystyle f_{n}\colon A^{\otimes n}\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b522394c271b17af1c60d65c72696ef2357aa92)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든
에 대하여,
![{\displaystyle \sum _{r+s+t=n}(-1)^{r+st}f_{r+1+t}(a_{1},\dots ,a_{r},m_{s}(a_{r+1},\dots ,a_{r+s}),a_{r+s+1},\dots ,a_{n})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n}(-1)^{\sum _{\ell =1}^{k}(k-\ell )(i_{\ell }-1)}m_{r}(f_{i_{1}}(a_{1},\dots ,a_{i_{1}},f_{2}(\dots ),\dots ,f_{i_{k}}(\dots ,a_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5aa4348ef54eb5ca9a35d804e33ca483f87dba2)
구체적으로, 처음 몇
에 대하여 이 조건은 다음과 같다.
![{\displaystyle f_{1}\circ \delta =\delta \circ f_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ecdce3f702597b1e4d014767d037f4b40e28e5)
![{\displaystyle f_{1}(a\cdot b)=f_{1}(a)\cdot f_{1}(b)+\delta f_{2}(a,b)+f_{2}(\delta a,b)+f_{2}(a,\delta b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629c0a13f3ee2520ec767b839ea91316e8cf55ca)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
A∞-대수
의 코호몰로지
를 취하자. 그렇다면,
위에도 자연스러운 A∞-대수의 구조가 존재하며, 이 경우
이 된다.
결합 오퍼라드는
인 오퍼라드이다. 즉, 결합 법칙이 (호모토피를 무시하지 않아도) 정확하게 성립하는 대수를 나타낸다.
작은 구간 오퍼라드(영어: little interval operad)의 경우,
은 단위 구간
속에 존재하는
개의 서로소 열린 구간들의 공간이다.