미분기하학에서 아티야 준군(Atiyah準群, 영어: Atiyah groupoid)은 매끄러운 주다발에 대하여 표준적으로 대응되는 리 준군이다. 그 리 준대수를 아티야 리 준대수(Atiyah Lie準代數, 영어: Atiyah Lie groupoid)라고 한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 리 군
. 그 리 대수를
라고 표기하자.
- 매끄러운 주다발
![{\displaystyle G\hookrightarrow P\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03384efdfc281f1be2b1b692fd12262fc79fbee)
그렇다면, 이에 대응되는 아티야 준군
은 다음과 같은 리 준군이다.
- 대상의 매끄러운 다양체는
이다.
- 사상의 매끄러운 다양체는
이다. 여기서
의 오른쪽 군 작용은
위에 성분별로 작용한다.
- 정의역과 공역 사상
는
의 두 사영 사상
으로 주어진다.
- 사상의 합성은 자명하게
로 주어진다.
- 항등원 사상
은 대각 사상
(
)으로 주어진다.
이에 대응하는 리 준대수를 아티야 리 준대수라고 한다.
아티야 리 준대수는 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.
의 미분
![{\displaystyle \mathrm {d} \pi \in \Omega ^{1}(P;\pi ^{*}\mathrm {T} M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decb8ff8fae24cabeef0ee65dbbf30c55560b360)
을 생각하자. 이는 다음과 같은
위의 벡터 다발들의 짧은 완전열을 정의한다.
![{\displaystyle P\times 0\to \mathrm {V} P=P\times {\mathfrak {g}}\to \mathrm {T} P\,{\overset {\mathrm {d} \pi }{\to }}\,\pi ^{*}\mathrm {T} M\to P\times 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9972974e26a7775037c5755f6e60bbf2b948905)
여기서 수직 벡터 다발
은
가 주다발이므로 자명한 벡터 다발이다.
이 위의 각 항의 전체 공간은
의 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 대한 몫공간을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}P\times 0&\to &P\times {\mathfrak {g}}&\to &\mathrm {T} P&{\overset {\mathrm {d} \pi }{\to }}&\pi ^{*}\mathrm {T} M&\to &P\times 0\\{\scriptstyle \pi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \pi }&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&{\color {White}\scriptstyle \pi }\downarrow {\scriptstyle \pi }\\M\times 0&\to &\operatorname {ad} (P)&\to &{\dfrac {\mathrm {T} P}{G}}&\to &\mathrm {T} M&\to &M\times 0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43780f2b9d003ebed967d37539a6119892039cd5)
여기서
- 연관 벡터 다발
은 무한소 게이지 변환의 벡터 다발이며, 그 매끄러운 단면은 무한소 게이지 변환이다.
의 매끄러운 단면
은
위의 벡터장
가운데,
의 작용에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}P&{\overset {\tilde {X}}{\to }}&\mathrm {T} P\\{\scriptstyle \pi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \pi }&&\downarrow \\M&{\underset {X}{\to }}&{\dfrac {\mathrm {T} P}{G}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e6c8f866cfc41b4715b56720eded826899c6f3)
-벡터 다발 사상
의 오른쪽 역사상의 데이터는
위의 주접속의 데이터와 동치이다.
이에 따라,
는 다음과 같이
위의 리 준대수의 구조를 갖는다.
- 닻
은 위 가환 그림에 등장하는
-벡터 다발 사상이다.
의 단면 공간
위의 리 괄호는 포함 사상
에 의하여
의 리 미분의 제한으로 정의된다.
이를 매끄러운 주다발
의 아티야 리 준대수라고 한다.
마이클 아티야가 도입하였다.[1]