보편 이차 형식

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이차 형식 이론에서, 보편 이차 형식(普遍二次形式, 영어: universal quadratic form)은 모든 스칼라 값을 치역으로 갖는 이차 형식이다.

정의[편집]

가환환 위의 가군 위의 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 임의의 에 대하여, 만약 이 존재한다면, 에 의한 표현(영어: representation of by )이라고 한다.

만약 의 모든 원소가 에 의하여 표현될 수 있다면, 보편 이차 형식이라고 한다.

분류[편집]

복소수체[편집]

이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 수가 제곱근을 갖는 )라고 하자. (예를 들어, 복소수체나 보다 일반적으로 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 또한, 크기 2의 유한체 역시 이차 폐체이다.) 이 경우, 위의 임의의 벡터 공간 위의 이차 형식은 상수 함수 0이거나 아니면 보편 이차 형식이다.

실수체[편집]

에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, 실수체 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

위의 보편 이차 형식은 부정부호 이차 형식이다. 즉, 부호수 에서 인 경우이다. 만약 이지만 인 경우 (양의 정부호) 이차 형식은 오직 음이 아닌 수만을 표현하며, 반대로 만약 이지만 인 경우 (음의 정부호) 이차 형식은 오직 양이 아닌 수만을 표현한다. 만약 인 경우, 이차 형식은 오직 0만을 표현한다.

실수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이 보편 이차 형식일 필요충분조건은 부정부호 이차 형식인 것이다. 즉, 대각화하였을 때 하나 이상의 양의 고윳값과 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는 것이다. 예를 들어, 는 보편 이차 형식이지만 는 아니다.

유한체[편집]

홀수 표수의 유한체에 대하여, 2차원 이상의 모든 비특이 이차 형식은 보편 이차 형식이다.[1]:36

p진수체[편집]

p진수체 위의 4차원 이상의 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식은 항상 보편 이차 형식이다.[2]:37

유리수체[편집]

하세-민코프스키 정리에 따르면, 유리수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 보편 이차 형식이다.
  • 모든 자리 에 대하여, 는 보편 이차 형식이다. (여기서 실수체이며, 소수 에 대하여 p진수체이다.)

정수환[편집]

15 정리(十五定理, 영어: fifteen theorem)에 따르면, 유한 생성 자유 아벨 군 위의 이차 형식 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]

  • 는 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15를 표현한다. (OEIS의 수열 A030050)
  • 는 보편 이차 형식이다.

또한, 각 정수 에 대하여, 을 표현하지만 을 표현하지 않는 이차 형식이 알려져 있다.

라그랑주의 네 제곱수 정리에 따르면, 정수 계수 이차 형식 는 보편 이차 형식이다.

페르마의 두 제곱수 정리에 따르면, 소수 가 이차 형식 에 의하여 표현될 필요충분조건은 인 것이다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
  2. Serre, Jean-Pierre (1973). 《A Course in Arithmetic》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 7. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001. 
  3. Conway, J. H. 〈Universal quadratic forms and the fifteen theorem〉 (PDF). Bayer-Fiuckiger, Eva; Lewis, David; Ranicki, Andrew. 《Quadratic forms and their applications. Proceedings of the conference on qadratic forms and their applications, July 5–9, 1999, University College Dublin》. Contemporary Mathematics (영어) 272. American Mathematical Society. 23–26쪽. MR 1803358. Zbl 0987.11026. doi:10.1090/conm/272/4394. 

외부 링크[편집]