리의 세 번째 정리

리 이론에서 리의 세 번째 정리(영어: Lie's third theorem)는 모든 유한 차원 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 어떤 실수 리 군 $G$의 리 대수라는 정리이다. 이 정리는 리군-리 대수 대응의 일부이다.

역사적으로 세 번째 정리는 다르지만 관련된 결과를 나타낸다. 현대적으로 다시 표현된 소푸스 리의 앞선 두 정리는 매끄러운 다양체에서 군 작용의 무한소 변형과 관련된다. 목록의 세 번째 정리는 국소 리 군의 무한소 변환에 대한 야코비 항등식을 명시한다. 반대로, 벡터장의 리 대수가 있는 경우 이 리 대수의 적분은 국소 리 군 작용을 제공한다. 현재 세 번째 정리로 알려진 결과는 원래 정리에 대한 본질적이고 대역적인 역 정리를 제공한다.

역사

단일 연결 실수 리 군 범주와 유한 차원 실수 리 대수 사이의 동치성은 일반적으로 (20세기 후반 문헌에서) 카르탕의 정리 또는 엘리 카르탕이 증명한 카르탕-리 정리라고 불린다. 소포스 리는 이전에 마우러-카르탕 방정식의 국소적 가해성, 즉 유한 차원 리 대수 범주와 국소 리 군 범주 사이의 동치성이라는 국소 버전을 증명했다.

리는 그의 결과를 3개의 직접 정리와 3개의 역 정리로 나열했다. 카르탕 정리의 무한소 변형은 본질적으로 리의 세 번째 역 정리였다. 영향력 있는 책에서 장피에르 세르는 이를 리의 세 번째 정리라고 불렀다. 이 이름은 역사적으로 다소 오해의 소지가 있지만 일반화와 관련하여 자주 사용된다.

세르는 그의 책에서 두 가지 증명을 제공했다. 하나는 아도 정리에 기초한 것이고 다른 하나는 엘리 카르탕의 증명을 자세히 설명한 것이다.

증명

리의 세 번째 정리에 대한 여러 가지 증명이 있으며, 각각은 서로 다른 대수적이거나 기하학적인 방법을 사용한다.

대수적 증명

고전적인 증명은 간단하지만 증명이 대수적이고 아주 비자명한 아도 정리에 의존한다. 아도 정리에 따르면 모든 유한 차원 리 대수는 행렬로 표현될 수 있다. 결과적으로 행렬 지수 함수를 통해 이러한 행렬 대수를 적분하면 원래 리 대수를 적분한 리 군이 생성된다.

코호몰로지적 증명

좀 더 기하학적인 증명은 엘리 카르탕이 했다. 이 증명은 중심의 차원에 대한 귀납법을 사용하며 슈발레-엘렌베르크 복합체를 연관시킨다.

기하학적 증명

뒤스터마트와 콜크는 2000년에 다른 기하학적 증명을 발견했다. 이전의 증명과 달리 이는 구성적 증명이다. 적분 결과인 리 군은 리 대수의 경로들이 이루는 (무한 차원) 바나흐 리 군과 적합한 리 부분 군의 몫으로 구성된다. 이 증명은 리 준군과 리 준대수에 대한 리 세 번째 정리의 일반화를 위한 길을 열었기 때문에 리 이론에 영향을 미쳤다.

같이 보기

• 미분 방정식의 리 군 적분자

참고 문헌

• Cartan, Élie (1930), “La théorie des groupes finis et continus et l'Analysis Situs”, 《Mémorial Sc. Math.》 XLII, 1–61쪽 
• Hall, Brian C. (2015), 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》, Graduate Texts in Mathematics 222 2판, Springer, doi:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666 
• Helgason, Sigurdur (2001), 《Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces》, Graduate Studies in Mathematics 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454 

외부 링크

• 수학 백과사전(EoM)