대수 구조

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추상대수학에서, 대수 구조(代數構造, 영어: algebraic structure)는 일련의 연산들이 주어진 집합이다.[1] 추상대수학은 다루는 대수 구조에 따라서 구분되며, 일반적인 대수 구조를 추상적으로 연구하는 분야를 보편 대수학이라고 한다. 자주 쓰이는 일부 대수 구조들은 특별한 이름을 붙이는데, , , 모노이드, 반군, 가군 등이 있다.

정의[편집]

대수 구조의 부호수(영어: signature) 집합 공역이 음이 아닌 정수의 집합인 함수 의 순서쌍이다. 인 원소 를 형 항 연산이라고 한다.

대수 구조 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 집합이다.
  • 는 중복집합 의 각 원소 를 함수 에 대응시키는 함수이다. 여기서 곱집합이며, 은 임의의 한원소 집합이다.

대수 구조는 이러한 연산들이 만족시켜야 하는 항등식에 대한 데이터를 담고 있지 않다. 이러한 데이터를 포함하는 대상을 대수 구조 다양체라고 한다.

구조는 대수 구조의 개념에 항 관계의 개념을 추가시켜 일반화한 개념이다. 반대로, 대수 구조는 관계를 포함하지 않는 구조이다.

부분 대수[편집]

의 대수 구조 부분 대수(영어: subalgebra) 는 다음과 같은 성질을 만족시키는 대수 구조이다.

  • 이다.
  • 의 연산은 의 연산과 일치한다. 즉, 모든 항 연산 에 대하여, 이다.

대수적 구조 의 부분 대수들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합 를 이룬다. 이 부분 순서 집합은 대수적 격자(영어: algebraic lattice)이며, 반대로 모든 대수적 격자는 대수 구조의 부분 대수 격자로 나타낼 수 있다.[1]:33–34

몫 대수[편집]

의 대수 구조 위에 합동 관계 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 몫 대수(영어: quotient algebra) 는 다음과 같은 대수 구조이다.

  • 에 대한 동치류들의 집합이다.
  • 에 대하여, 합동 관계는 연산과 호환되므로, 로 정의할 수 있다. 여기서 에 대한 동치류이다.

주어진 대수 구조 의 몫 대수들의 부분 순서 집합 위의 합동 관계들의 부분 순서 집합 와 동형이다. 대수적 격자를 이루며, 반대로 모든 대수적 격자는 어떤 대수 구조의 합동 관계 격자와 동형이다.[1]:41–43

가 2개 원소를 가진 격자인 경우, 단순 대수(영어: simple algebra)라고 한다. 합동 관계 에 대하여 이 단순 대수인 경우, 극대 합동 관계(영어: maximal congruence relation)라고 한다. 단순 대수는 단순군·단순환의 개념을, 극대 합동 관계는 극대 아이디얼의 개념을 일반화한 것이다.

[편집]

집합은 아무런 연산이 정의되어 있지 않는 대수 구조이다.

모노이드 은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (곱셈) 이항 연산
  • (항등원) 영항 연산

은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (곱셈) 이항 연산
  • (역원) 일항 연산
  • (항등원) 영항 연산

유사환 은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (곱셈) 이항 연산
  • (덧셈) 이항 연산
  • (덧셈 역원) 일항 연산
  • (덧셈 항등원) 영항 연산

은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (곱셈) 이항 연산
  • (덧셈) 이항 연산
  • (덧셈 역원) 일항 연산
  • (덧셈 항등원) 영항 연산
  • (곱셈 항등원) 영항

에 대한 가군 은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (덧셈) 이항 연산
  • (덧셈 역원) 일항 연산
  • (덧셈 항등원) 영항 연산
  • (스칼라 곱셈) 의 각 원소 에 대하여, 일항 연산

만약 가 무한 집합이라면, 이 경우 -가군의 연산의 집합 역시 무한 집합이다.

의 경우, 위 정의에 따르면 대수 구조로 보기 힘든데, 이는 곱셈에 대한 역원 이 모든 원소에 대하여 정의되지 않기 때문이다. 체의 경우, 곱셈 역원의 연산을 잊고 환으로 볼 수 있으나, 이 경우 체들의 모임대수 구조 다양체를 이루지 못한다. 실제로, 체의 경우 (자명하지 않은) 몫이나 합동 관계 따위가 존재하지 않으므로, 체의 이론은 군이나 환의 이론과 상당히 다르다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Burris, Stanley N.; Hanamantagouda P. Sankappanavar (1981). 《A course in universal algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 78. Springer. ISBN 978-1-4613-8132-7. ISSN 0072-5285. MR 0648287. Zbl 0478.08001. 

바깥 고리[편집]