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구면 모형

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통계역학에서 구면 모형(球面模型, 영어: spherical model)은 강자성을 나타내는 간단한 격자 모형이다.[1]:Chapter 5[2][3] 이징 모형과 유사하나, 이징 모형과 달리 임의의 차원에서 정확히 간단히 풀 수 있다. 2차원 이하에서는 상전이를 갖지 않지만, 2차원 초과에서는 상전이를 갖는다. 이 모형의 임계 지수들은 일반적으로 차원에 의존하는 독특한 현상을 보인다.

정의

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구면 모형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 유한 그래프
  • 함수 , . 이는 외부 자기장을 뜻한다.
  • 함수 , . 이는 온도의 역수를 뜻한다.

이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 제곱평균제곱근은 1이어야 한다.

즉, 짜임새 공간유클리드 공간 속의, 반지름 초구이다.

구형 모형의 분배 함수는 다음과 같다.

이는 다음과 같이 표기할 수 있다. 우선, 실수 힐베르트 공간

위의 연산자

를 정의하자. 여기서 인접 행렬이다.

즉, 만약 상수 함수라면 이다.

그렇다면, 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.

여기서 디랙 델타

로 표현하였다. 여기서, 의 모든 고윳값의 실수 성분이 양수가 되게 충분히 커야 한다.

즉, 이 경우

이 된다.

즉,

이다. 여기서 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저이다.

성질

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최급강하법 근사

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그래프가 매우 큰 경우, 다음과 같이 최급강하법을 사용하여 분배 함수를 근사할 수 있다. 구체적으로, 분배 함수를 다음과 같이 적자.

이다. 여기서

라고 가정하였다. (예를 들어, 만약 원환면 그래프(개의 순환 그래프들의 그래프 데카르트 곱)이며, 자기장 또한 상수 함수라면, 위 조건이 성립한다.)

그렇다면, 인 극한에서,

가 된다.

원환면 그래프

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가 크기 순환 그래프 그래프 데카르트 곱이라고 하자. 즉, 이는 주기적 경계 조건이 주어진 차원 초입방체에 해당한다. 이 경우, 의 스펙트럼은 다음과 같은 중복집합이다.

따라서 상수 함수일 때, 극한에서, 은 따라서 위의 적분으로 근사될 수 있다.

이러한 그래프에서, 상수 함수 자기장 인접 행렬고유 벡터이며, 따라서 이 경우 자기장의 항 역시 계산될 수 있다.

이 경우, 상태 방정식은 다음과 같다.[1]:5.3.3

여기서

  • 는 온도이다.
  • 의 평균값이다.
  • 는 다음과 같이 정의되는 함수이다. 이는 의 적분 근사에서 유래한다.

이 경우

[1]:(5.4.4)

가 된다. 여기서 는 0차 베셀 함수이다.

이 경우

이다. 따라서,

  • 일 때 구면 모형은 상전이를 갖지 않는다.[1]:68, §5.5 즉, 퀴리 온도가 0이다.
  • 일 때 구면 모형은 1차 상전이를 갖는다. 즉, 퀴리 온도가 (유한한) 양수이며, 그 역수는

이다.[1]:67, (5.5.1)

일 때, 임계 지수들은 다음과 같다.

[1]:(5.6.7)
[1]:(5.6.8)
[1]:(5.6.11)

즉, 이 경우 임계 지수들이 에 의존하게 된다.

이징 모형과의 관계

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물리학적으로, 이는 이징 모형의 근사로 여겨질 수 있다. 이징 모형에서 분배 함수는 차원 유클리드 공간 속의 초입방체개 꼭짓점에 대한 합을 취하는 것인데, 이 모형은 이를 대신 비슷한 크기의 초구의 표면에 대한 적분으로 근사한다.

역사

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마레크 카츠

1952년에 시어도어 벌린(영어: Theodore H. Berlin, 1917-1963)과 마레크 카츠(폴란드어: Marek Kac, 1914-1984)가 도입하였다.[2]

각주

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  1. Baxter, Rodney J. (1982). 《Exactly solved models in statistical mechanics》 (영어). Academic Press. ISBN 0-12-083180-5. 
  2. Berlin, Theodore H.; Kac, Mark (1952년 6월 15일). “The Spherical Model of a Ferromagnet”. 《Physical Review》 (영어) 86: 821. doi:10.1103/PhysRev.86.821. 
  3. Cassi, Davide; Fabbian, Linda (1999). “The spherical model on graphs” (PDF). 《Journal of Physics A》 (영어) 32: L93–L98. doi:10.1088/0305-4470/32/8/001.