방향 (다양체)

미분기하학과 위상수학에서, 다양체의 방향(方向, 영어: orientation 오리엔테이션^[*])은 다양체 위에서 시계방향 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 유향 다양체(有向多樣體, oriented manifold)라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 가향 다양체(可向多樣體, orientable manifold)라고 한다. 예를 들어, 구는 방향을 줄 수 있지만, 클라인 병은 방향을 줄 수 없다.

정의

위상다양체의 방향

$M$이 $n$차원 위상다양체라고 하자. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 위상 동형이므로, 모든 점 $x\in M$에 대하여, 상대 호몰로지 군 $\operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})$은

$\operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})\cong \operatorname {H} _{n}(\mathbb {R} ^{n}/(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}))\cong \operatorname {H} _{n}(\mathbb {S} ^{n})\cong \mathbb {Z}$

의 꼴이다.

이들을 줄기로 하는, 아벨 군 값의 국소 상수층 $\omega _{M}$이 존재한다. 이를 $M$의 방향층(方向層, 영어: orientation sheaf)이라고 한다. 물론, 정수환 $\mathbb {Z}$ 대신 다른 가환환 $R$ 계수를 사용할 수 있으며, 이 경우 $R$-가군의 국소 상수층 $\omega _{M}\otimes R$를 얻는다.

점 $x\in M$에서의 국소 방향(局所方向, 영어: local orientation)은 무한 순환군 $\operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})$의 두 생성원 가운데 하나이다.

$M$ 위의 방향은 방향층 $\omega _{M}$의 단면 가운데, 각 점 $x\in X$에서 국소 방향을 이루는 것이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$. 또한, 각 $i\in I$에 대하여 $U_{i}$가 축약 가능 공간이라고 하자.
  • 이에 따라, 임의의 $i\in I$에 대하여, $U_{i}$ 속의 임의의 두 점 $x,y\in U_{i}$에 대하여, 표준적인 군 동형 사상 $\operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})\cong \operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{y\})$가 존재한다.
• 각 $i\in I$ 및 $U_{i}$ 속의 임의의 점 $x\in M$에 대하여, 국소 방향 $e_{x}\in \operatorname {H} _{n}(M,M\setminus \{x\})$. 또한, 위의 동형 사상을 통하여 임의의 $x'\in U_{i}$ 속에 $(x',i)$에서의 국소 방향을 정의할 수 있다.

이는 다음 조건을 따라야 한다.

• 임의의 $i,j\in I$ 및 $x\in U_{i}\cap U_{j}$에 대하여, $(x,i)$에서의 국소 방향이 $(x,j)$에서의 국소 방향과 일치한다.

미분다양체의 방향

$M$이 $n$차원 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 $M$ 위의 방향은 항상 0이 아닌 $n$차 미분 형식의 동치류다. 만약 두 $n$차 미분 형식 $\alpha$, $\beta$가 $\alpha =f\beta$의 꼴이고, $f$가 매끄러운 함수이며, 항상 0이 아닌 함수라면 $\alpha \sim \beta$로 간주한다.

이 정의는 위상다양체의 방향의 정의와 동치이다.

연산

같은 차원의 두 다양체 $M$, $N$의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 분리합집합 $M\sqcup N$ 역시 표준적인 방향을 갖는다.

(서로 다른 차원을 가질 수 있는) 두 다양체 $M$, $N$의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱공간 $M\times N$ 역시 표준적인 방향을 갖는다.

유향 다양체 $M$의 열린집합인 부분 다양체 역시 표준적인 방향을 갖는다. 그러나 이는 임의의 부분 다양체에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, 뫼비우스의 띠는 방향을 가질 수 없지만, 방향을 가질 수 있는 3차원 유클리드 공간의 부분 다양체이다.)

성질

경계다양체

$n$차원 경계다양체 $(M,\partial M)$의 내부 $M\setminus \partial M$는 $n$차원 다양체를 이루며, $\partial M$은 $n-1$차원 다양체를 이룬다. $M\setminus \partial M$의 방향이 주어졌을 때, 이는 $\partial M$의 방향을 표준적으로 결정한다. 즉, 경계다양체의 경우 내부의 방향이 경계의 방향을 결정한다. 특히, 가향 경계다양체의 경계는 가향 다양체이다.

복소다양체

모든 복소다양체는 표준적인 방향을 갖는다. 구체적으로, $n$차원 복소다양체 $M$의 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$의 복소수 국소 좌표계

$(\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {C} ^{n})_{i\in I}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 전이 함수

$\phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}^{-1}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} ^{n}$

는 정칙 함수이므로 방향을 보존하며, 따라서 이는 $M$의 방향을 정의한다.

외부 링크

• “Orientation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Manifold orientation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Goldberg, Timothy E. (2007년 11월 11일). “The Orientation Manifesto (for Undergraduates)” (PDF).