리 군론에서 6차원 회전군(六次元回轉群, 영어: six-dimensional rotation group)은 6차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수의 4×4 특수 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.
6차원 회전군은 6차원 실수 계수 직교군 이다. 그 딘킨 도표는
이다.
6차원 스핀 군은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다.
즉, 는 이다.
그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다.
킬링 형식의 부호수 |
기호 |
직교군 기호 |
유니터리·선형군 기호 |
사타케 도표 |
보건 도표 |
비고
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(0,15) |
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Spin(6) |
SU(4) |
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콤팩트 형태
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(5,10) |
A₃Ⅱ, D₃Ⅱ |
Spin(1,5) |
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(8,7) |
A₃Ⅲ, D₃Ⅱ |
Spin(2,4) |
SU(2,2) |
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(9,6) |
A₃Ⅰ, D₃Ⅰ |
Spin(3,3) |
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분할 형태
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(10,5) |
A₃Ⅲ, D₃Ⅲ |
SO*(6) |
SU(3,1) |
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사타케 도표에서, 중괄호 ()는 화살표()를 나타낸다.
콤팩트 형태[편집]
Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현 및 그 복소수 켤레 에 해당한다.
마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현 은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다.
Spin(6)의 군의 중심은 크기 4의 순환군이다. 에서, 이는
에 해당한다. 이 중심은 몫군 에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로 에 해당한다.
분할 형태[편집]
Spin(3,3)의 군의 중심은 크기 2의 순환군이다. 에서, 이는
에 해당한다.
Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은 의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다.
실수 차원 |
Spin(3,3) 묘사 |
묘사 |
영 타블로
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4 |
오른쪽 마요라나-바일 스피너 |
벡터 (정의 표현)
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□
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4′ |
왼쪽 마요라나-바일 스피너 |
(0,1)-텐서 (쌍대 벡터)
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□ □ □
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6 |
벡터 (정의 표현) |
반대칭 2-텐서
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□ □
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10 |
자기 쌍대 3-텐서 |
대칭 (2,0)-텐서
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□□
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10′ |
자기 반쌍대 3-텐서 |
대칭 (0,2)-텐서
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□□ □□ □□
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15 |
반대칭 2-텐서 (딸림표현) |
무대각합 (1,1)-텐서 (딸림표현)
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□□ □ □
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20 |
대칭 무대각합 2-텐서 |
대칭-반대칭 4-텐서
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□□ □□
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20′ |
오른손 벡터-스피너 |
대칭-반대칭 (3,0)-텐서
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□□ □
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20″ |
왼손 벡터-스피너 |
대칭-반대칭 (0,3)-텐서
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□□ □□ □
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20‴ |
자기 쌍대 3-텐서-스피너 |
완전 대칭 (3,0)-텐서
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□□□
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20⁗ |
자기 반쌍대 3-텐서-스피너 |
완전 대칭 (0,3)-텐서
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□□□ □□□ □□□
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이들의 텐서곱은 다음과 같다.
SO(1,5)[편집]
Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너는 존재하지 않는다. 이는 의 사원수 2차원 정의 표현 (또는 의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다.
Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은 에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.)
SO(2,4)[편집]
Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너이다. 이는 의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다.
SU(1,3)[편집]
은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는 의 반대칭 2-텐서 표현이다.
또한, 의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는 의 왼쪽과 오른쪽 “바일 스피너”에 해당한다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]