사용자:Kobmuiv/대수 다형체의 사상

대수 기하학에서 대수 다형체들 사이의 사상은 다항식에 의해 국소적으로 주어진 다형체 사이의 함수이다. 정규 사상이라고도 한다. 대수 다형체에서 아핀 직선으로 가는 사상은 정규 함수라고도 한다. 역도 규칙적인 정규 사상을 쌍정규라고 하며 쌍정규 사상은 대수 다형체의 동형사상이다. 정규와 쌍정규는 매우 제한적인 조건이기 때문에 – 사영 다형체 위에서는 모든 정규 함수가 상수 함수다. – 유리 및 쌍유리 사상의 개념도 널리 사용된다. 그들은 다항식 대신 유리 분수에 의해 국소적으로 정의되는 부분 함수이다.

대수 다형체는 자연스럽게 국소적으로 환 달린 공간 구조를 가진다. 대수 다형체 사이의 사상은 정확히 기반이 되는 국소적으로 환 달린 공간의 사상이다.

정의

$X,Y$가 각각 $\mathbb {A} ^{n}$과 $\mathbb {A} ^{m}$의 닫힌 부분 다형체(즉 $X,Y$는 아핀 다형체)이면, 정규 사상 $f\colon X\to Y$ 는 다항식 사상 $\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}$의 제한이다. 명시적으로

$f=(f_{1},\dots ,f_{m})$

형태를 가진다. 여기서 $f_{i}$들은 $X$의 좌표 환에 있다.

$k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I$

여기서 $I$는 $X$를 정의하는 이데알이다. (참고: 두 개의 다항식 $f,g$가 $X$에서 동일한 함수를 정의함과 $f-g$가 $I$의 원소임은 동치이다). 상 $f(X)$는 $Y$에 있으므로 $Y$의 정의 방정식을 충족한다. 즉, 정규 사상 $f:X\to Y$ 구성 원소가 다음 정의 방정식을 만족하는 다항식 사상의 제한과 동일하다. $Y$ .

보다 일반적으로, $f(U)\subset V$ 및 제한된 함수 $f$를 충족하는 $x$의 이웃 $U$와 $f(x)$의 이웃 $V$가 있는 경우 두 다형체 사이의 사상 $f:X\to Y$는 점 $x$에서 규칙적이다. $U\to V$는 $U$와 $V$의 일부 아핀 좌표 조각에서 함수로 규칙적이다. 그런 다음 $f$가 $X$의 모든 지점에서 규칙적이라면 $f$를 정규라고 한다.

• 참고: 두 정의가 일치한다는 것이 즉시 명백하지는 않다. $X$와 $Y$가 아핀 다형체인 경우 사상 $f:X\to Y$는 첫 번째 의미에서 규칙적이다. 또한 규칙성이 아핀 좌표 조각의 선택에 따라 달라지는지 즉시 명확하지 않다(그렇지 않다.). 그러나 이러한 종류의 일관성 문제는 공식 정의를 채택하면 사라집니다. (추상적) 대수 다형체는 특정 종류의 국소적으로 환 달린 공간으로 정의된다. 이 정의가 사용될 때 다형체의 사상은 국소적으로 환 달린 공간의 사상일 뿐이다.

정규 사상의 구성은 다시 정규이다. 따라서 대수 다형체는 사상이 정규 사상인 대수 다형체 범주를 형성한다.

아핀 다형체 사이의 정규 사상은 좌표 환 사이의 대수 동형에 대해 일대일로 반변적으로 대응한다. $f:X\to Y$가 아핀 다형체의 동형이면 대수 준동형 사상

$f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f$

을 정의한다. 여기서 $k[X],k[Y]$는 각각 $X$와 $Y$의 좌표 환이다. $g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})$가 $k[X]$의 원소들로 이뤄진 다항식이므로 이는 잘 정의되어 있다. 이다. 반대로, 만약 $\phi :k[Y]\to k[X]$가 대수 준동형사상이면, 그것은 사상

$\phi ^{a}:X\to Y$

을 유도한다. 주어진 : 쓰기 $k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,$

$\phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))$

여기서 ${\overline {y}}_{i}$는 $y_{i}$들의 상들이다. ${\phi ^{a}}^{\#}=\phi$이고 ${f^{\#}}^{a}=f$임을 주의하라. 특히, $f^{\#}$가 좌표 환의 동형사상인 경우에만 $f$는 아핀 다형체의 동형사상이다.

예를들어, $X$가 아핀 다형체 $Y$의 닫힌 부분 다형체이고 $f$가 그 inclusion이면, $f^{\#}$는 $Y$에서 정의된 정규 함수의 $X$에 대한 제한이다.

정규 함수

$Y=\mathbb {A} ^{1}$인 특별한 경우 정규 사상 $f:X\to \mathbb {A} ^{1}$은 정규 함수라고 한다. 정규 함수들이 이루는 환 (즉, 좌표 환 또는, 보다 추상적으로, 층 구조의 대역 단면 환)은 아핀 대수 기하학의 기본 대상이다. 사영 다형체에 대한 유일한 정규 함수는 상수 함수이다(복소 해석학에서 리우빌 정리의 대수적 아날로그로 볼 수 있음).

A scalar function $f:X\to \mathbb {A} ^{1}$is 정규 at a point $x$ if, in some open affine neighborhood of $x$, it is a rational function that is 정규 at $x$; i.e., there are 정규 functions $g,h$ near $x$ such that $f=g/h$ and $h$ does not vanish at $x$. Caution: the condition is for some pair $(g,h)$ not for all pairs $(g,h)$; see Examples.

$X$가 준사영 다형체이면, 즉, 사영 다형체의 열린 부분 다형체인 경우, 함수 체 $k(X)$는 $X$의 폐포 ${\overline {X}}$와 동일하다. 따라서 $X$ 위의 유리 함수는 ${\overline {X}}$의 동차 좌표 환 $k[{\overline {X}}]$에서 동일한 차수의 어떤 동차 원소 $g,h$에 대해 $g/h$ 형태이다. 그러면, $X$ 위의 유리 함수 $f$는 점 $x$에서 정규임과 $f=g/h$이고 $h$는 $x$에서 사라지지 않는 $k[{\overline {X}}]$ 안의 차수가 같은 동차 원소 $g,h$가 존재함과 동치다. 이는 때때로 정규 함수의 정의로 본다.

스킴의 사상과 비교

$X={\text{Spec}}A$ 및 $Y={\text{Spec}}B$가 아핀 스킴인 경우 각 환 동형사상 $\varphi :B\to A$은 소 이데알들의 역상을 취함으로써 사상

$\phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})$

을 결정한다. 아핀 스킴 사이의 모든 사상은 이러한 유형이며 이러한 사상들을 붙이면 일반적으로 스킴의 사상이 제공된다.

$X$, $Y$가 아핀 다형체들이면; 즉, $A$, $B$가 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 유한 생성된 정역, working with only the closed points, (Proof: If $f:X\to Y$ is a morphism, then writing $\phi =f^{\#}$, we need to show

${\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})$

여기서 ${\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}$는 각각 점 $x$와 $f(x)$에 해당하는 극대 이데알이다. 즉, ${\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}$. 이것은 즉각적이다. )

이 사실은 아핀 다형체의 범주가 $k$에 대한 아핀 스킴의 전체 부분 범주로 식별될 수 있음을 의미한다. 다형체의 사상은 아핀 스킴의 사상를 접착하여 스킴의 사상를 얻는 것과 같은 방식으로 아핀 다형체의 사상를 붙여서 얻으므로 다형체의 범주는 $k$에 대한 스킴 범주의 전체 부분 범주가 된다.

자세한 내용은 [1]를 참조하라.

예

• $\mathbb {A}$에서 정의된 정규 함수들은 정확히 n 변수 다항식이고 $\mathbb {P}$ 위에서 정의된 정규 함수들은 상수 함수이다.
• $X$를 아핀 곡선 $y=x^{2}$라 하자. 그러면,
  $$f:X\to \mathbb {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x$$
  는 사상이다; 이는 일대일이고 역사상은 $g(x)=(x,x^{2})$이다. $g$도 사상이므로, $f$는 다형체 동형 사상이다.
• $X$ 를 아핀 곡선 $y^{2}=x^{3}+x^{2}$이라 하자. 그러면
  $$f:\mathbb {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)$$
  는 사상이다. 이는 일대일인 환 준동형 사상
  $$f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),$$
  에 대응한다. ($f$가 전사이므로.).
• 이전 예시에 이어서, $U=\mathbb {A} ^{1}-\{1\}$라 하자. Since $U$가 초평면 t = 1의 여집합이므로, $U$는 아핀이다. 제한 $f:U\to X$는 일대일 대응이다. B그러나 이에 대응되는 환 준동형 사상은 is the inclusion $k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]$, which is not an isomorphism and so the restriction $f$ |_U is not an isomorphism.
• Let $X$를 아핀 곡선 $x^{2}+y^{2}=1$이라 하고
  $$f(x,y)={1-y \over x}.$$
  라 하자. 그러면 $f$는 $X$ 위에서 정의된 유리 함수이다. 이는 (0, 1)에서 정규이다. at despite the expression since, as a rational function on $X$, $f$ can also be written as $f(x,y)={x \over 1+y}$.
• Let $X=\mathbb {A} ^{2}-\{(0,0)\}$. Then $X$ is an algebraic variety since it is an open subset of a variety. If $f$ is a 정규 function on $X$, then $f$ is 정규 on $D_{\mathbb {A} ^{2}}(x)=\mathbb {A} ^{2}-\{x=0\}$ and so is in $k[D_{\mathbb {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbb {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]$. Similarly, it is in $k[x,y,y^{-1}]$. Thus, we can write:
  $$f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}$$
  where g, h are polynomials in $k[x,y]$. But this implies g is divisible by xⁿ and so $f$ is in fact a polynomial. Hence, the ring of 정규 functions on $X$ is just $k[x,y]$. (This also shows that $X$ cannot be affine since if it were, $X$ is determined by its coordinate ring and thus $X=\mathbb {A} ^{2}$.)
• Suppose $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {A} ^{1}\cup \{\infty \}$ by identifying the points (x : 1) with the points x on $\mathbb {A} ^{1}$ and ∞ = (1 : 0). There is an automorphism σ of $\mathbb {P} ^{1}$ given by σ(x : y) = (y : x); in particular, σ exchanges 0 and ∞. If $f$ is a rational function on $\mathbb {P} ^{1}$, then
  $$\sigma ^{\#}(f)=f(1/z)$$
  and $f$ is 정규 at ∞ if and only if $f(1/z)$ is 정규 at zero.
• Taking the function field $k(V)$of an irreducible algebraic curve $V$ the functions $F$ in the function field may all be realised as morphisms from $V$ to the projective line over k.I think the curve should be smooth (cf. #Properties) The image will either be a single point, or the whole projective line (this is a consequence of the completeness of projective varieties). That is, unless $F$is actually constant, we have to attribute to $F$ the value ∞ at some points of $V$.
• For any algebraic varieties $X$, $Y$, the projection
  $$p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x$$
  is a morphism of varieties. If $X,Y$ are affine, then the corresponding ring homomorphism is
  $$p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1$$
  where $(f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)$.

성질

자리스키 위상을 고려 할 때 다형체 사이의 사상은 연속이다.

다형체 사상의 상은 열려 있거나 닫혀 있을 필요가 없다(예를 들어, $\mathbb {A} ^{2}\to \mathbb {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)$ 열려 지도 닫혀 있지도 않다). 그러나 여전히 다음과 같이 말할 수 있다. $f$가 다형체 간의 사상이면 $f$의 상은 클로저의 개방 밀집 부분 집합을 포함한다. (cf. 구성 가능한 집합 . )

대수 다형체의 사상 $f:X\to Y$가 조밀한 상을 가지면 지배적이라고 한다. 이러한 $f$에 대해 $V$ 가 Y의 비어 있지 않은 열린 아핀 부분 집합이면 $f(U)\subset V$가 되는 $X$의 비어 있지 않은 열린 아핀 부분 집합 $U$가 있고 다음 $f^{\#}:k[V]\to k[U]$ 단사이다. 따라서 지배적 사상 $f$ 함수체 수준에서 주입을 유도한다.

$k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f$

여기서 제한은 $Y$의 비어 있지 않은 모든 열린 아핀 부분 집합에 대해 실행된다. (보다 추상적으로, 이것은 $Y$의 일반점의 잉여류체에서 $X$의 점으로 유도된 사상이다.) 반대로, 체의 모든 포함은 $k(Y)\hookrightarrow k(X)$ $X$에서 $Y$로의 우세한 유리 사상에 의해 유도된다. 따라서, 위의 구성은 체 k에 대한 대수 다형체의 범주와 그들 사이의 지배적 유리 사상과 k의 유한하게 생성된 체 확대의 범주 사이의 반변 등가를 결정한다.

$X$ 가 매끄러운 완비 곡선(예:$\mathbb {P} ^{1}$ )이고 $f$가 $X$에서 사영 공간 '$\mathbb {P} ^{m}$'로 가는 유리적 사상인 경우 $f$ 는 정규 사상 $X$ → '$\mathbb {P} ^{m}$'이다. 특히, $X$가 매끄러운 완비 곡선일 때, $X$에 대한 임의의 유리 함수는 $X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}$사상으로 볼 수 있고, 반대로 $X$에 대한 유리 함수와 같은 사상으로 볼 수 있다.

정규 다형체 (특히 매끄러운 다형체 )에서 유리 함수는 공동 차원 1의 극점이 없는 경우에만 규칙적이다. 이것은 하르톡스의 확장 정리의 대수적 유사체이다. 이 사실에 대한 상대적 버전도 있다. [2] 참조하라.

기본 위상 공간 사이의 동형사상인 대수 다형체 사이의 모사상은 동형사상일 필요가 없다(반례는 프로베니우스 사상에 의해 제공된다). $t\mapsto t^{p}$ . ) 반면에, $f$가 전단사 쌍유리 함수이고 $f$의 대상 공간이 정규 다형체 이면 $f$ 는 쌍정형이다. (cf. 자리스키의 주요 정리 . )

복소 대수 다형체 사이의 정규 사상은 정칙 사상이다. (실제로 약간의 기술적 차이가 있다. 일반 사상는 특이점을 제거할 수 있는 유리형 사상이지만 실제로는 구별이 일반적으로 무시된다. ) 특히, 복소수에 대한 정규 사상은 일반적인 정칙 함수일 뿐이다.

사영 공간에 대한 사상

사상

$f:X\to \mathbb {P} ^{m}$

이 사영 다형체에서 사영 공간으로의 사상이고, $x\in X$의 점이라고 하자. 그런 다음 $f(x)$의 $i$ 번째 동차 좌표는 0이 아니다. 단순화를 위해 $i=0$이라고 말한다. 그런 다음 연성질에 의해 다음과 같은 $x$의 열린 아핀 이웃 $U$ 가 있다.

$f:U\to \mathbb {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}$

는 사상이며, 여기서 $y_{i}$는 동차 좌표이다. 대상 공간은 식별을 통해 아핀 공간 $\mathbb {A} ^{m}$임을 참고하라. $(a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})$ . 따라서 정의에 따라 제한 $f|_{U}$는 다음과 같이 주어진다

$f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))$

여기서 $g_{i}$는 $U$의 일반 함수이다. $X$ 사영이기 때문에 각 $g_{i}$는 $X$의 동차 좌표 환 $k[X]$에서 같은 차수의 동차 원소의 비율이다. 우리는 모든 분수가 동일한 동차 분모 $f_{0}$을 갖도록 분수를 배열할 수 있다. 그런 다음 $k[X]$의 동차 원소 $f_{i}$에 대해 $g_{i}=f_{i}/f$을 쓸 수 있다. 따라서 동차 좌표로 돌아가서,

$f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))$

$U$의 모든 $x$에 대해 그리고 $f$가 $x$에서 동시에 사라지지 않는 한 $X$의 모든 $x$에 대한 연성질에 의해. 그들이 $X$의 $x$ 지점에서 동시에 사라지면 위의 절차에 따라 $x$에서 동시에 사라지지 않는 다른 $f$ 집합을 선택할 수 있다(섹션 끝에 있는 참고 참조). )

사실, 위의 설명은 사영 다형체의 열린 부분 다형체인 모든 준사영 다형체 $X$에 유효한다. ${\overline {X}}$; 차이점은 $f_{i}$ 가 동종 좌표 환에 있다는 것이다. ${\overline {X}}$ .

참고 : 위에서는 사영 다형체에서 사영 공간으로의 사상이 단일 다항식 집합에 의해 제공된다고 말하지 않다(아핀인 경우와 달리). 예를 들어, $X$ 원뿔 곡선이라고 한다. $y^{2}=xz$ $\mathbb {P} ^{2}$'에서 . 그런 다음 두 개의 사상 $(x:y:z)\mapsto (x:y)$ 그리고 $(x:y:z)\mapsto (y:z)$ 열린 부분 집합에 동의 $\{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}$ $X$의 (이후 $(x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)$ ) 그래서 사상를 정의한다 $f:X\to \mathbb {P} ^{1}$.

사상의 올

중요한 사실은:   Let $f:X\rightarrow Y$ be a dominating (i.e., having dense image) morphism of algebraic varieties, and let $r={\text{dim}}X-{\text{dim}}Y$. then

1. For every irreducible closed subset $W$ of $Y$ and every irreducible component $Z$ of $f^{-1}(W)$ dominating $W$,

1. $\dim Z\geq \dim W+r.$

1. There exists a nonempty open subset $U$ in $Y$ such that (a) $U\subset f(X)$ and (b) for every irreducible closed subset $W$ of $Y$ intersecting $U$ and every irreducible component $Z$ of $f^{-1}(W)$ intersecting $f^{-1}(U)$,

1. $\dim Z=\dim W+r.$

Let $f:X\rightarrow Y$ be a morphism of algebraic varieties. For each $x\in X$, define

$e(x)=\max\{\dim Z\mid Z{\text{ an irreducible component of }}f^{-1}(f(x)){\text{ containing }}x\}.$

Then e is upper-semicontinuous; i.e., for each integer n, the set

$X_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}$

is closed.

멈포드의 빨간 책에서 정리는 뇌터 정규화 보조정리를 통해 증명된다. 일반적인 자유도가 주요 역할을 하고 " 보편적인 현수선 환 "의 개념이 증명의 핵심인 대수적 접근에 대해서는 Eisenbud, Ch. 14 of "대수 기하학을 향한 가환 대수학." 사실, 거기에 있는 증명은 $f$가 평면 이면 정리 2의 차원 평등이 일반적으로 유지됨을 보여줍니다(일반적으로만이 아님).

유한 사상의 정도

$f:X\rightarrow Y$를 체 $k$에 대한 대수 다형체 사이의 유한 전사 사상라고 하자. 그런 다음 정의에 따라 $f$의 차수는 $f^{*}k(Y)$에 대한 함수 체 $k(X)$의 유한 체 확장의 차수이다. 일반적인 자유도에 의해, 구조 층 $O_{X}$에서 $f$ $f^{-1}(U)$로의 제한이 $O_{Y}$-가군 . $f$의 차수는 이 자유 모듈의 등급이기도 한다.

$f$가 에탈이고 $X$, $Y$가 완비 하면 $Y$의 일관된 다발 $f$에 대해 오일러 특성에 대해 $\chi$를 쓰면,

$\chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).$

(분지 덮음에 대한 Riemann–Hurwitz 공식은 여기서 "에탈"이 생략될 수 없음을 보여줍니다. )

일반적으로 $f$ 가 유한한 전사이고 $X$, $Y$가 완비 하고 $F$가 $Y$에서 일관된 다발인 경우 르레 스펙트럼 열에서 $\operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)$, 다음을 얻다.

$\chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).$

특히, $f$가 $L^{\otimes n}$이면 선다발의 다음 $R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}$ 그리고 지원 이후 $R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ q가 양수이면 양수 공동 차원을 가지며 선행 항을 비교하면 다음을 갖다.

$\operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)$

( 일반적인 순위는 $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ $f$의 정도이다. )

$f$가 에탈이고 $k$가 대수적으로 닫힌 경우 각 기하 올 $f^{-1}(Y)$는 정확히 ${\text{deg}}(f)$ 점으로 구성된다.

같이보기

• 대수 함수
• 매끄러운 사상
• 에탈 사상 - 로컬 미분동형사상의 대수 아날로그.
• 특이점의 해결
• 축소 사상

참조

 

• Fulton, William (1998). 《Intersection Theory》. Springer Science. ISBN 978-0-387-98549-7. 
• Harris, Joe (1992). 《Algebraic Geometry, A First Course》. Springer Verlag. ISBN 978-1-4757-2189-8. 
• Hartshorne, Robin (1997). 《Algebraic Geometry》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. 
• Milne, Algebraic geometry, old version v. 5.xx.
• Mumford, David (1999). 《The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians》 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 354063293X. 
• Shafarevich, Igor R. (2013). 《Basic Algebraic Geometry 1》. Springer Science. ISBN 978-0-387-97716-4. 
• Silverman, Joseph H. (2009). 《The Arithmetic of Elliptic Curves》 2판. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6. 

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분류:

• 함수와 사상
• 함수의 종류
• 대수 다형체