리만 곡면

복소해석학에서, 리만 곡면(Riemann surface)은 1차원 복소다양체이다.

정의

리만 곡면은 복소 차원이 1차원인 복소다양체이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 미분다양체이다.

이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 유향(oriented) 등각다양체(conformal manifold)로 정의할 수 있다. 등각 계량(conformal metric)는 바일 변환에 대한 리만 계량 텐서의 동치류이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 미분다양체이다. 2차원에서, 향(orientation)이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.

예제

• 복소 평면과 리만 구면은 리만 곡면이다.
• 주어진 리만 곡면의 열린 부분집합은 리만 곡면을 이룬다.
• 컴팩트 리만 곡면은 특이점이 없는 복소 사영 대수 곡선과 같다.

리만 곡면의 자기동형사상

리만 곡면의 자기동형사상군은 다음과 같다.

• 종수(genus) 0:
• 리만 구면의 자기동형사상은 뫼비우스 변환이다.
• 구멍을 뚫은 리만 구면의 자기동형사상은 구멍들을 보존하는 뫼비우스 변환이거나 아니면 구멍들을 서로 바꾸는 뫼비우스 변환이다.
• 열린 반평면(또는 열린 원판)의 자기동형사상은 실수 계수의 뫼비우스 변환 $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$이다.
• 종수 1: 대부분의 복소 원환면의 자기동형사상군은 평행이동 $U(1)\times U(1)$이다. 다만, 수직(90°) 격자에 의하여 생성되는 복소 원환면의 경우 90° 회전도 자기동형사상을 이루고, 정육각형(60°) 격자에 의하여 생성되는 원환면의 경우 60° 회전도 자기동형사상을 이룬다.
• 종수 $g\geq 2$인 경우, 자기동형사상군은 유한군이며, 그 크기는 $84(g-1)$ 이하이다. 이를 후르비츠 자기동형사상 정리라고 하며, 아돌프 후르비츠(독일어: Adolf Hurwitz)가 증명하였다.

같이 보기

• 복소다양체
• 켈러 다양체
• 리만-로흐 정리

참고 문헌

• Farkas, Hershel M.; Irwin Kra (1992), 《Riemann Surfaces》, Graduate Texts in Mathematics 71 2판, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-2034-3, ISBN 978-1-4612-7391-2  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Hartshorne, Robin (1977), 《Algebraic Geometry》, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052 , esp. chapter IV.
• Jost, Jürgen (2006), 《Compact Riemann Surfaces: An introduction to contemporary mathematics》, Berlin, New York: Springer-Verlag, 208–219쪽, doi:10.1007/978-3-540-33067-7, ISBN 978-3-540-33065-3 
• Schlichenmaier, Martin (2007). 《An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces》 2판. Berlin Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-71175-9. ISBN 978-3-540-71174-2. 

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Riemann surface”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Gastesi, Pablo Arés. “Riemann Surfaces”.