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:<math> D= (-1)^{20\over 2} a_5^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{20\over 2} a_5^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{10} a_5^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{10} a_5^{-1} M </math>
== 브링-제라드 형태 ==
오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을<ref>{{웹 인용|url=https://mathworld.wolfram.com/|제목=Bring-Jerrard Quintic Form|성=Weisstein|이름=Eric W.|언어=en|확인날짜=2022-01-24}}</ref> 갖습니다. 십구 세기 후반에 John Stuart Glashan, George Paxton Young, Carl Runge는 [[초등함수]]를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했습니다:
: <math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x = \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}</math>
그리고 이것은 이 방정식의 일반적인 해입니다:
: <math>x = \frac{2\mu\sqrt{20\nu + 15}}{5\sqrt[4]{\nu^2 + 1}}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{125\sqrt[4]{\nu^2 + 1}(2\sqrt{\nu^2 + 1} + 2\nu - 1)}{(20\nu + 15)^{3/2}}\biggr]\biggr\} -</math>
: <math>- \frac{2\mu\sqrt{20\nu + 15}}{5\sqrt[4]{\nu^2 + 1}}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{125\sqrt[4]{\nu^2 + 1}(2\sqrt{\nu^2 + 1} - 2\nu + 1)}{(20\nu + 15)^{3/2}}\biggr]\biggr\}</math>
이것은 μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예입니다:
: <math>x^5 + 15x = 12</math>
: <math>x = \tfrac{2}{5}\sqrt{15}\cosh[\tfrac{1}{5}\text{arcosh}(\tfrac{5}{9}\sqrt{15})] - \tfrac{2}{5}\sqrt{15}\sinh[\tfrac{1}{5}\text{arsinh}(\tfrac{5}{3}\sqrt{15})]</math>
매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해결책 쌍을 설정할 수 있습니다:
: <math>x^5 + x = \frac{2}{5}y^{-5/4}\frac{(1 + y - y^2)\sqrt{2 + 2y^2}}{\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}}</math>
: <math>x = \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2}}{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\} -</math>
: <math>- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2}}{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\}</math>
이 해결책 공식은 모든 [[실수]] 값 0 < y < 2에 대해 유효합니다.
== 모듈러 타원 함수를 통한 해결책 ==
다음에서 이 방정식을<ref>{{Cite journal|last=Brioschi|first=F.|date=1858-12-01|title=Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite — Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus —. N. 11. Mars. 1858|url=https://zenodo.org/record/2401804|doi=10.1007/bf03197334}}</ref> 일반화합니다:
: <math>x^5 + x = w</math>
: <math>x = \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2}}{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\} -</math>
: <math>- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2}}{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\}</math>
: <math>y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle^2}{2\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2} - \frac{1}{2}</math>
이 공식은 아래에 설명되어 있습니다.
위의 방정식에서 다음 방정식이 생성됩니다:
: <math>w = \frac{2}{5}y^{-5/4}\frac{(1 + y - y^2)\sqrt{2 + 2y^2}}{\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}}</math>
방정식은 다음과 같이 재정렬될 수 있습니다:
: <math>\bigl(\frac{2y^5 - y^6}{1 + 2y}\bigr)^{1/2} = \sqrt{\frac{3125}{256}w^4 + 1} - \frac{25}{16}\sqrt{5}\,w^2</math>
: <math>\bigl(\frac{2y^5 - y^6}{1 + 2y}\bigr)^{1/2} = \sin\bigl\{2\arcsin\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]\bigr\}</math>
: <math>y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]^5\bigr\}^2}{2\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]\bigr\}^2} - \frac{1}{2}</math><math>y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle^2}{2\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2} - \frac{1}{2}</math>
그리스 기호는 테타 야코비 [[세타 함수|테타 함수]]를 나타냅니다:
: <math>\vartheta_{00}(z) = 1 + 2\sum_{k = 1}^{\infty} z^{k^2} </math>
: <math>\vartheta_{00}(z) = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - z^{2k})(1 + z^{2k - 1})^2</math>
[[놈 (수학)|놈 함수]]은 문자 q로 표시됩니다:
: <math>q(\varepsilon) = \exp[-\pi K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) K(\varepsilon)^{-1}] </math>
문자 K는 제1종 완전 [[타원 적분]]을 나타냅니다:
: <math>K(r) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-r^2\sin(\varphi)^2}} \mathrm{d}\varphi </math>
약어 ctlh 및 aclh로 [[렘니스케이트]](lemniscate) 함수가<ref>{{Cite journal|last=Deng|first=Ji-En|last2=Chen|first2=Chao-Ping|date=2014-01-24|title=Sharp Shafer-Fink type inequalities for Gauss lemniscate functions|url=https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-35|journal=Journal of Inequalities and Applications|volume=2014|issue=1|pages=35|doi=10.1186/1029-242X-2014-35|issn=1029-242X}}</ref> 표시됩니다:
: <math>\mathrm{sl}(\varphi) = \tan\biggl\langle 2\arctan\biggl\{\frac{4}{G}\sin\bigl(\frac{\varphi}{G}\bigr)\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh[(2k-1)\pi]}{\cosh[(2k-1)\pi]^2 - \cos(\varphi/G)^2}\biggr\}\biggr\rangle</math>
: <math>\mathrm{cl}(\varphi) = \tan\biggl\langle 2\arctan\biggl\{\frac{4}{G}\cos\bigl(\frac{\varphi}{G}\bigr)\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh[(2k-1)\pi]}{\cosh[(2k-1)\pi]^2 - \sin(\varphi/G)^2}\biggr\}\biggr\rangle</math>
: <math>[\text{sl}(\varphi)^2 + 1][\text{cl}(\varphi)^2 + 1] = 2 </math>
: <math>\text{ctlh}(\varrho) = \operatorname{cl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)\biggl[\frac{\operatorname{sl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2+1}{\operatorname{sl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2+\operatorname{cl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2}\biggr]^{1/2} </math>
: <math>\text{aclh}(s) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\,\pi\,G - \int_{0}^{1} \frac{s}{\sqrt{s^4 t^4 + 1}} \,\mathrm{d}t </math>
: <math>G = \tfrac{1}{2}\sqrt{2\pi}\,\Gamma(\tfrac{3}{4})^{-2} </math>
: <math>
\text{ctlh}\bigl[\tfrac{1}{2}\mathrm{aclh}(s)\bigr]^2 = (2s^2 + 2 + 2\sqrt{s^4 + 1})^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{s^4 + 1} + 1} + s)
</math>
문자 G는 [[가우스 상수]]를 나타냅니다.
== 로저스 라마누잔 연속 분수 ==
로저스 라마누잔 (Rogers Ramanujan) 연속 분수는<ref>{{웹 인용|url=https://mathworld.wolfram.com/|제목=Rogers-Ramanujan Continued Fraction|성=Weisstein|이름=Eric W.|언어=en|확인날짜=2022-01-24}}</ref> 다음과 같이 정의됩니다:
: <math>R(z) = z^{1/5} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(1-z^{5n-1})(1-z^{5n-4})}{(1-z^{5n-2})(1-z^{5n-3})}</math>
: <math>R(z) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z^{1/2})^2}{2\vartheta_{00}(z^{5/2})^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5} \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z^{1/2})^2}{2\vartheta_{00}(z^{5/2})^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5}</math>
: <math>R(z^2) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5} \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5}</math>
: <math>S(z) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5} \cot\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5}</math>
: <math>S(z) = \frac{R(z^4)}{R(z^2)R(z)}</math>
이 공식을 기반으로 다음 공식 쌍을 만들 수 있습니다:
: <math>x^5 + x = w</math>
: <math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^3}</math>
첫 번째 계산 예:
: <math>x^5 + x = 3</math>
: <math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^3}</math><math>q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\} \approx 0.452374059450344348576600264284387826377845763909</math>
: <math>x \approx 1.132997565885065266721141634288532379816526027727</math>
두 번째 계산 예:
: <math>x^5 + x = 7</math>
: <math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^3}</math><math>q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\} \approx 0.53609630892200161460073096549143569900990236</math>
: <math>x \approx 1.4108138510595771319852918753499397839215989</math>
== 같이 보기 ==
== 같이 보기 ==
네 개의 임계점 을 가지는 오차함수의 그래프
오차 방정식 (Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식 을 뜻한다. 일반적인 형태는
a
x
5
+
b
x
4
+
c
x
3
+
d
x
2
+
e
x
+
f
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\;a\neq 0}
와 같다. 여기에서
a
,
b
,
c
,
d
,
e
{\displaystyle a,b,c,d,e}
는 각각
x
5
,
x
4
,
x
3
,
x
2
,
x
{\displaystyle x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x}
의 계수 라고 한다. 또한
f
{\displaystyle f}
는 상수항이라고 부른다.
그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.
오차방정식의 근
갈루아 와 아벨 은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차 , 이차 , 삼차 , 사차 방정식 은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem )로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다.[1] 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리 (fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율 을 표현할 수 없는 것과 유사하다.
실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법 , Laguerre의 방법 , Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.
근과 계수와의 관계
오차방정식
a
x
5
+
b
x
4
+
c
x
3
+
d
x
2
+
e
x
+
f
=
0
{\displaystyle \textstyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}
의 다섯 근을
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ϵ
{\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon }
라고 하면,
다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
(
x
−
γ
)
(
x
−
δ
)
(
x
−
ϵ
)
=
0
{\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )(x-\epsilon )=0}
x
5
−
(
α
+
β
+
γ
+
δ
+
ϵ
)
x
4
+
(
α
β
+
α
γ
+
α
δ
+
α
ϵ
+
β
γ
+
β
δ
+
β
ϵ
+
γ
δ
+
γ
ϵ
+
δ
ϵ
)
x
3
{\displaystyle x^{5}-(\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon )x^{4}+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha \epsilon +\beta \gamma +\beta \delta +\beta \epsilon +\gamma \delta +\gamma \epsilon +\delta \epsilon )x^{3}}
−
(
α
β
γ
+
α
β
δ
+
α
β
ϵ
+
α
γ
δ
+
α
γ
ϵ
+
α
δ
ϵ
+
β
γ
δ
+
β
γ
ϵ
+
β
δ
ϵ
+
γ
δ
ϵ
)
x
2
{\displaystyle -(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta \epsilon +\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma \epsilon +\alpha \delta \epsilon +\beta \gamma \delta +\beta \gamma \epsilon +\beta \delta \epsilon +\gamma \delta \epsilon )x^{2}}
+
(
α
β
γ
δ
+
α
β
γ
ϵ
+
α
β
δ
ϵ
+
α
γ
δ
ϵ
+
β
γ
δ
ϵ
)
x
−
α
β
γ
δ
ϵ
=
0
{\displaystyle +(\alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma \epsilon +\alpha \beta \delta \epsilon +\alpha \gamma \delta \epsilon +\beta \gamma \delta \epsilon )x-\alpha \beta \gamma \delta \epsilon =0}
또한,
α
+
β
+
γ
+
δ
+
ϵ
=
−
b
a
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon =-{b \over a}}
α
β
+
α
γ
+
α
δ
+
α
ϵ
+
β
γ
+
β
δ
+
β
ϵ
+
γ
δ
+
γ
ϵ
+
δ
ϵ
=
c
a
{\displaystyle \alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha \epsilon +\beta \gamma +\beta \delta +\beta \epsilon +\gamma \delta +\gamma \epsilon +\delta \epsilon ={c \over a}}
α
β
γ
+
α
β
δ
+
α
β
ϵ
+
α
γ
δ
+
α
γ
ϵ
+
α
δ
ϵ
+
β
δ
ϵ
+
β
δ
γ
+
β
γ
ϵ
+
γ
δ
ϵ
=
−
d
a
{\displaystyle \alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta \epsilon +\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma \epsilon +\alpha \delta \epsilon +\beta \delta \epsilon +\beta \delta \gamma +\beta \gamma \epsilon +\gamma \delta \epsilon =-{d \over a}}
α
β
γ
δ
+
α
β
γ
ϵ
+
α
β
δ
ϵ
+
α
γ
δ
ϵ
+
β
γ
δ
ϵ
=
e
a
{\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma \epsilon +\alpha \beta \delta \epsilon +\alpha \gamma \delta \epsilon +\beta \gamma \delta \epsilon ={e \over a}}
α
β
γ
δ
ϵ
=
−
f
a
{\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \epsilon =-{f \over a}}
의 관계가 있다.
특히 각 항(
x
5
,
x
4
,
x
3
,
x
2
,
x
,
f
{\displaystyle x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x,f}
)에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합 의 경우의 수 로 따져 볼 수 있다.
5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ϵ
{\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon }
라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 ,
n
!
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
=
5
!
1
!
⋅
(
5
−
1
)
!
=
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
1
!
⋅
(
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
)
=
5
1
=
5
{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{1!\cdot (5-1)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {1!\cdot (5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}={5 \over 1}=5}
2개씩의 조합의 경우의 수는 ,
n
!
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
=
5
!
2
!
⋅
(
5
−
2
)
!
=
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
2
!
⋅
(
3
⋅
2
⋅
1
)
=
5
⋅
4
2
⋅
1
=
20
2
=
10
{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{2!\cdot (5-2)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {2!\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}}={{5\cdot 4} \over {2\cdot 1}}={20 \over 2}=10}
3개씩의 조합의 경우의 수는 ,
n
!
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
=
5
!
3
!
⋅
(
5
−
3
)
!
=
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
3
!
⋅
(
2
⋅
1
)
=
5
⋅
4
2
⋅
1
=
20
2
=
10
{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{3!\cdot (5-3)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {3!\cdot (2\cdot 1)}}={{5\cdot 4} \over {2\cdot 1}}={20 \over 2}=10}
4개씩의 조합의 경우의 수는 ,
n
!
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
=
5
!
4
!
⋅
(
5
−
4
)
!
=
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
4
!
⋅
(
1
)
=
5
1
=
5
{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{4!\cdot (5-4)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {4!\cdot (1)}}={{5} \over {1}}=5}
이다.
5개씩의 조합의 경우의 수는 ,
n
!
k
!
⋅
(
n
−
k
)
!
=
5
!
5
!
⋅
(
5
−
5
)
!
=
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
5
!
⋅
0
!
=
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
=
120
120
=
1
{\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {5!}{5!\cdot (5-5)!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {5!\cdot 0!}}={{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \over {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={120 \over 120}=1}
이다.
a
x
5
+
b
x
4
+
c
x
3
+
d
x
2
+
e
x
+
f
=
0
{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}
다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항(
n
{\displaystyle n}
차항)의
x
{\displaystyle x}
의 계수,
a
{\displaystyle a}
로 나눈 다음
x
=
y
−
b
n
a
{\displaystyle \textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}}
의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라 칭한다.
이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다.
먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다.
x
5
+
b
a
x
4
+
c
a
x
3
+
d
a
x
2
+
e
a
x
+
f
a
=
0
{\displaystyle x^{5}+{b \over a}x^{4}+{c \over a}x^{3}+{d \over a}x^{2}+{e \over a}x+{f \over a}=0}
그리고 y로 치환한다.
x
=
y
−
b
5
a
{\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {5} a}}
그러면, 방정식은
y
5
+
p
y
3
+
q
y
2
+
r
y
+
s
=
0
{\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0}
의 꼴로 정리된다. 여기서
p
,
q
,
r
,
s
{\displaystyle p,q,r,s}
는 다음과 같다.
p
=
−
2
b
2
+
5
a
c
5
a
2
{\displaystyle p={{-2b^{2}+5ac} \over {5a^{2}}}}
q
=
4
b
3
−
15
a
b
c
+
25
a
2
d
25
a
3
{\displaystyle q={{4b^{3}-15abc+25a^{2}d} \over {25a^{3}}}}
r
=
−
3
b
4
+
15
a
b
2
c
−
50
a
2
b
d
+
125
a
3
e
125
a
4
{\displaystyle r={{-3b^{4}+15ab^{2}c-50a^{2}bd+125a^{3}e} \over {125a^{4}}}}
s
=
625
a
3
b
e
+
4
b
5
−
25
a
b
3
c
+
125
a
2
b
2
d
+
3125
a
5
f
3125
a
5
{\displaystyle s={{625a^{3}be+4b^{5}-25ab^{3}c+125a^{2}b^{2}d+3125a^{5}f} \over {3125a^{5}}}}
일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들
상반방정식
5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, 조립제법 이나 다항식 장제법 으로
(
x
±
a
)
{\displaystyle (x\pm a)}
의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다.
예) :
a
x
5
+
b
x
4
+
c
x
3
+
c
x
2
+
b
x
+
a
=
0
{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}
이 식은 먼저 하나의 해는 무조건
−
1
{\displaystyle -1}
임을 알아야 한다.
−
1
{\displaystyle -1}
이 나올 수 있는 인수는
(
x
+
1
)
{\displaystyle (x+1)}
이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은
a
x
4
+
(
−
a
+
b
)
x
3
+
(
a
−
b
+
c
)
x
2
+
(
−
a
+
b
)
x
+
a
=
0
{\displaystyle ax^{4}+(-a+b)x^{3}+(a-b+c)x^{2}+(-a+b)x+a=0}
가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.
이항방정식
x
5
±
a
=
0
{\displaystyle x^{5}\pm a=0}
의 꼴은 이항방정식으로
a
{\displaystyle a}
와 근의 계수
ω
{\displaystyle \omega }
를 찾아 5개의 근을 구할 수 있다.
오차방정식의 판별식
오차 방정식의 판별식 은 59개항으로 이루어져 있다.
실베스터 행렬 의 종결식 을 사용한 소행렬식 의 라플라스 전개 로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다.
a
x
5
+
b
x
4
+
c
x
3
+
d
x
2
+
e
x
+
f
=
0
{\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}
을
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
1
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0}
으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬
M
=
(
2
n
−
1
)
⋅
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle M=(2n-1)\cdot (2n-1)}
M
=
[
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
0
0
0
0
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
0
0
0
0
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
0
0
0
0
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
5
a
5
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
a
0
0
0
0
0
5
a
5
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
a
0
0
0
0
0
5
a
5
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
a
0
0
0
a
0
0
0
5
a
5
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
0
0
0
a
0
0
0
5
a
5
4
a
4
3
a
3
2
a
2
1
a
1
]
{\displaystyle M={\begin{bmatrix}a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0&0\\0&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0&0&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0&0&0&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}&0&0&0\\0&5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}&0&0\\0&0&5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0a_{0}&0\\0a_{0}&0&0&5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\0&0a_{0}&0&0&5a_{5}&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{bmatrix}}}
D
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
n
−
1
M
{\displaystyle D=(-1)^{n(n-1) \over 2}a_{n}^{-1}M}
D
=
(
−
1
)
5
(
5
−
1
)
2
a
5
−
1
M
{\displaystyle D=(-1)^{5(5-1) \over 2}a_{5}^{-1}M}
D
=
(
−
1
)
20
2
a
5
−
1
M
{\displaystyle D=(-1)^{20 \over 2}a_{5}^{-1}M}
D
=
(
−
1
)
10
a
5
−
1
M
{\displaystyle D=(-1)^{10}a_{5}^{-1}M}
브링-제라드 형태
오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을[2] 갖습니다. 십구 세기 후반에 John Stuart Glashan, George Paxton Young, Carl Runge는 초등함수 를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했습니다:
x
5
+
5
μ
4
(
4
ν
+
3
)
ν
2
+
1
x
=
4
μ
5
(
2
ν
+
1
)
(
4
ν
+
3
)
ν
2
+
1
{\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x={\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}}
그리고 이것은 이 방정식의 일반적인 해입니다:
x
=
2
μ
20
ν
+
15
5
ν
2
+
1
4
cosh
{
1
5
arcosh
[
125
ν
2
+
1
4
(
2
ν
2
+
1
+
2
ν
−
1
)
(
20
ν
+
15
)
3
/
2
]
}
−
{\displaystyle x={\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}+2\nu -1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-}
−
2
μ
20
ν
+
15
5
ν
2
+
1
4
sinh
{
1
5
arsinh
[
125
ν
2
+
1
4
(
2
ν
2
+
1
−
2
ν
+
1
)
(
20
ν
+
15
)
3
/
2
]
}
{\displaystyle -{\frac {2\mu {\sqrt {20\nu +15}}}{5{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {125{\sqrt[{4}]{\nu ^{2}+1}}(2{\sqrt {\nu ^{2}+1}}-2\nu +1)}{(20\nu +15)^{3/2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}}
이것은 μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예입니다:
x
5
+
15
x
=
12
{\displaystyle x^{5}+15x=12}
x
=
2
5
15
cosh
[
1
5
arcosh
(
5
9
15
)
]
−
2
5
15
sinh
[
1
5
arsinh
(
5
3
15
)
]
{\displaystyle x={\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\cosh[{\tfrac {1}{5}}{\text{arcosh}}({\tfrac {5}{9}}{\sqrt {15}})]-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\sinh[{\tfrac {1}{5}}{\text{arsinh}}({\tfrac {5}{3}}{\sqrt {15}})]}
매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해결책 쌍을 설정할 수 있습니다:
x
5
+
x
=
2
5
y
−
5
/
4
(
1
+
y
−
y
2
)
2
+
2
y
2
10
+
15
y
−
10
y
2
4
{\displaystyle x^{5}+x={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}}}
x
=
2
5
y
−
1
/
4
10
+
15
y
−
10
y
2
4
cosh
{
1
5
arcosh
[
5
5
+
5
y
2
(
1
+
2
y
)
4
+
6
y
−
4
y
2
]
}
−
{\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-}
−
2
5
y
−
1
/
4
10
+
15
y
−
10
y
2
4
sinh
{
1
5
arsinh
[
5
y
5
+
5
y
2
(
2
−
y
)
4
+
6
y
−
4
y
2
]
}
{\displaystyle -{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}}
이 해결책 공식은 모든 실수 값 0 < y < 2에 대해 유효합니다.
모듈러 타원 함수를 통한 해결책
다음에서 이 방정식을[3] 일반화합니다:
x
5
+
x
=
w
{\displaystyle x^{5}+x=w}
x
=
2
5
y
−
1
/
4
10
+
15
y
−
10
y
2
4
cosh
{
1
5
arcosh
[
5
5
+
5
y
2
(
1
+
2
y
)
4
+
6
y
−
4
y
2
]
}
−
{\displaystyle x={\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arcosh}}{\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-}
−
2
5
y
−
1
/
4
10
+
15
y
−
10
y
2
4
sinh
{
1
5
arsinh
[
5
y
5
+
5
y
2
(
2
−
y
)
4
+
6
y
−
4
y
2
]
}
{\displaystyle -{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}{\text{arsinh}}{\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}}
y
=
5
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
5
⟩
2
2
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
⟩
2
−
1
2
{\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}}
이 공식은 아래에 설명되어 있습니다.
위의 방정식에서 다음 방정식이 생성됩니다:
w
=
2
5
y
−
5
/
4
(
1
+
y
−
y
2
)
2
+
2
y
2
10
+
15
y
−
10
y
2
4
{\displaystyle w={\frac {2}{5}}y^{-5/4}{\frac {(1+y-y^{2}){\sqrt {2+2y^{2}}}}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}}}
방정식은 다음과 같이 재정렬될 수 있습니다:
(
2
y
5
−
y
6
1
+
2
y
)
1
/
2
=
3125
256
w
4
+
1
−
25
16
5
w
2
{\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}={\sqrt {{\frac {3125}{256}}w^{4}+1}}-{\frac {25}{16}}{\sqrt {5}}\,w^{2}}
(
2
y
5
−
y
6
1
+
2
y
)
1
/
2
=
sin
{
2
arcsin
[
(
50
5
w
2
+
32
+
2
3125
w
4
+
256
)
−
1
/
2
(
3125
w
4
+
256
+
16
+
5
5
4
w
)
]
}
{\displaystyle {\bigl (}{\frac {2y^{5}-y^{6}}{1+2y}}{\bigr )}^{1/2}=\sin {\bigl \{}2\arcsin {\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}}
y
=
5
ϑ
00
{
q
[
(
50
5
w
2
+
32
+
2
3125
w
4
+
256
)
−
1
/
2
(
3125
w
4
+
256
+
16
+
5
5
4
w
)
]
5
}
2
2
ϑ
00
{
q
[
(
50
5
w
2
+
32
+
2
3125
w
4
+
256
)
−
1
/
2
(
3125
w
4
+
256
+
16
+
5
5
4
w
)
]
}
2
−
1
2
{\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}^{5}{\bigr \}}^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl \{}q{\bigl [}{\bigl (}50{\sqrt {5}}\,w^{2}+32+2{\sqrt {3125w^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125w^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,w{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}-{\frac {1}{2}}}
y
=
5
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
5
⟩
2
2
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
⟩
2
−
1
2
{\displaystyle y={\frac {5\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}}
그리스 기호는 테타 야코비 테타 함수 를 나타냅니다:
ϑ
00
(
z
)
=
1
+
2
∑
k
=
1
∞
z
k
2
{\displaystyle \vartheta _{00}(z)=1+2\sum _{k=1}^{\infty }z^{k^{2}}}
ϑ
00
(
z
)
=
∏
k
=
1
∞
(
1
−
z
2
k
)
(
1
+
z
2
k
−
1
)
2
{\displaystyle \vartheta _{00}(z)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-z^{2k})(1+z^{2k-1})^{2}}
놈 함수 은 문자 q로 표시됩니다:
q
(
ε
)
=
exp
[
−
π
K
(
1
−
ε
2
)
K
(
ε
)
−
1
]
{\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}
문자 K는 제1종 완전 타원 적분 을 나타냅니다:
K
(
r
)
=
∫
0
π
/
2
1
1
−
r
2
sin
(
φ
)
2
d
φ
{\displaystyle K(r)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi }
약어 ctlh 및 aclh로 렘니스케이트 (lemniscate) 함수가[4] 표시됩니다:
s
l
(
φ
)
=
tan
⟨
2
arctan
{
4
G
sin
(
φ
G
)
∑
k
=
1
∞
cosh
[
(
2
k
−
1
)
π
]
cosh
[
(
2
k
−
1
)
π
]
2
−
cos
(
φ
/
G
)
2
}
⟩
{\displaystyle \mathrm {sl} (\varphi )=\tan {\biggl \langle }2\arctan {\biggl \{}{\frac {4}{G}}\sin {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\varphi /G)^{2}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
c
l
(
φ
)
=
tan
⟨
2
arctan
{
4
G
cos
(
φ
G
)
∑
k
=
1
∞
cosh
[
(
2
k
−
1
)
π
]
cosh
[
(
2
k
−
1
)
π
]
2
−
sin
(
φ
/
G
)
2
}
⟩
{\displaystyle \mathrm {cl} (\varphi )=\tan {\biggl \langle }2\arctan {\biggl \{}{\frac {4}{G}}\cos {\bigl (}{\frac {\varphi }{G}}{\bigr )}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\varphi /G)^{2}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
[
sl
(
φ
)
2
+
1
]
[
cl
(
φ
)
2
+
1
]
=
2
{\displaystyle [{\text{sl}}(\varphi )^{2}+1][{\text{cl}}(\varphi )^{2}+1]=2}
ctlh
(
ϱ
)
=
cl
(
1
2
2
ϱ
)
[
sl
(
1
2
2
ϱ
)
2
+
1
sl
(
1
2
2
ϱ
)
2
+
cl
(
1
2
2
ϱ
)
2
]
1
/
2
{\displaystyle {\text{ctlh}}(\varrho )=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho ){\biggl [}{\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}+1}{\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\varrho )^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}}
aclh
(
s
)
=
1
2
2
π
G
−
∫
0
1
s
s
4
t
4
+
1
d
t
{\displaystyle {\text{aclh}}(s)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi \,G-\int _{0}^{1}{\frac {s}{\sqrt {s^{4}t^{4}+1}}}\,\mathrm {d} t}
G
=
1
2
2
π
Γ
(
3
4
)
−
2
{\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}\,\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-2}}
ctlh
[
1
2
a
c
l
h
(
s
)
]
2
=
(
2
s
2
+
2
+
2
s
4
+
1
)
−
1
/
2
(
s
4
+
1
+
1
+
s
)
{\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {aclh} (s){\bigr ]}^{2}=(2s^{2}+2+2{\sqrt {s^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s)}
문자 G는 가우스 상수 를 나타냅니다.
로저스 라마누잔 연속 분수
로저스 라마누잔 (Rogers Ramanujan) 연속 분수는[5] 다음과 같이 정의됩니다:
R
(
z
)
=
z
1
/
5
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
5
n
−
1
)
(
1
−
z
5
n
−
4
)
(
1
−
z
5
n
−
2
)
(
1
−
z
5
n
−
3
)
{\displaystyle R(z)=z^{1/5}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-z^{5n-1})(1-z^{5n-4})}{(1-z^{5n-2})(1-z^{5n-3})}}}
R
(
z
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
ϑ
00
(
z
1
/
2
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
/
2
)
2
−
1
2
]
}
2
/
5
tan
{
1
2
arccot
[
ϑ
00
(
z
1
/
2
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
/
2
)
2
−
1
2
]
}
1
/
5
{\displaystyle R(z)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5/2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5/2})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}
R
(
z
2
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
ϑ
00
(
z
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
)
2
−
1
2
]
}
2
/
5
tan
{
1
2
arccot
[
ϑ
00
(
z
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
)
2
−
1
2
]
}
1
/
5
{\displaystyle R(z^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}
S
(
z
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
ϑ
00
(
z
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
)
2
−
1
2
]
}
1
/
5
cot
{
1
2
arccot
[
ϑ
00
(
z
)
2
2
ϑ
00
(
z
5
)
2
−
1
2
]
}
2
/
5
{\displaystyle S(z)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(z)^{2}}{2\vartheta _{00}(z^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}
S
(
z
)
=
R
(
z
4
)
R
(
z
2
)
R
(
z
)
{\displaystyle S(z)={\frac {R(z^{4})}{R(z^{2})R(z)}}}
이 공식을 기반으로 다음 공식 쌍을 만들 수 있습니다:
x
5
+
x
=
w
{\displaystyle x^{5}+x=w}
x
=
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
⟩
2
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
⟩
2
×
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
×
1
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
⟩
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
2
⟩
2
×
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
×
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
5
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
1
/
5
⟩
2
−
5
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
5
⟩
3
2
20
4
sl
[
1
2
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
5
4
5
4
w
)
]
2
}
⟩
3
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}
첫 번째 계산 예:
x
5
+
x
=
3
{\displaystyle x^{5}+x=3}
x
=
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
⟩
2
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
⟩
2
×
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
×
1
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
⟩
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
2
⟩
2
×
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
×
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
5
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
1
/
5
⟩
2
−
5
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
5
⟩
3
2
20
4
sl
[
1
2
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
⟩
3
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
15
4
5
4
)
]
2
}
≈
0.452374059450344348576600264284387826377845763909
{\displaystyle q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {15}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}\approx 0.452374059450344348576600264284387826377845763909}
x
≈
1.132997565885065266721141634288532379816526027727
{\displaystyle x\approx 1.132997565885065266721141634288532379816526027727}
두 번째 계산 예:
x
5
+
x
=
7
{\displaystyle x^{5}+x=7}
x
=
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
⟩
2
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
⟩
2
×
{\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
×
1
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
⟩
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
2
⟩
2
×
{\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }
×
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
5
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
1
/
5
⟩
2
−
5
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
5
⟩
3
2
20
4
sl
[
1
2
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
⟩
3
{\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
35
4
5
4
)
]
2
}
≈
0.53609630892200161460073096549143569900990236
{\displaystyle q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {35}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})]^{2}\}\approx 0.53609630892200161460073096549143569900990236}
x
≈
1.4108138510595771319852918753499397839215989
{\displaystyle x\approx 1.4108138510595771319852918753499397839215989}
같이 보기
각주