가중 사영 공간

대수기하학에서, 가중 사영 공간(加重射影空間, 영어: weighted projective space)은 사영 공간의 개념의 일반화이다. 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 양의 정수 $a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n}\in \mathbb {Z} ^{+}$

그렇다면, 등급환인 가환환

$A=K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$

$\deg x_{i}=a_{i}$

을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼

$\operatorname {Proj} A=\mathbb {P} _{K}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})$

을 무게 $(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})$의 가중 사영 공간이라고 한다.

특히, $a_{0}=a_{1}=\dotsb =a_{n}$인 경우는 보통 사영 공간이다.

즉, 만약 $K$가 체일 때, 그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.

${\frac {\{(x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n})\in K^{n+1}\}\setminus \{(0,\dotsc ,0)\}}{(x_{0},\dotsc ,x_{n})\sim (\lambda ^{a_{0}}x_{0},\dotsc ,\lambda ^{a_{0}}x_{n})\qquad \forall \lambda \in K^{\times }}}$

분류

$K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자.

임의의 양의 정수 $b\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 $i\in \{0,1,\dotsc ,n\}$에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다.

$\mathbb {P} (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})\cong \mathbb {P} (da_{0},da_{1},\dotsc ,da_{i-1},a_{i},da_{i+1},\dotsc ,da_{n})\cong \mathbb {P} (da_{0},da_{1},\dotsc ,da_{i},\dotsc ,da_{n})$

무게 $(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 잘 만들어진 무게(영어: well formed weights)라고 하자.

임의의 $n$개의 성분들의 최대공약수는 1이다. 즉, 임의의 $i\in \{0,1,\dotsc ,n\}$에 대하여, $\gcd\{a_{0},\dotsc ,{\widehat {a_{i}}},\dotsc ,a_{n}\}=1$. (여기서 ${\widehat {a_{i}}}$는 $a_{i}$를 생략하라는 뜻이다.)

따라서, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.

성질

정의에 따라, 가중 사영 공간은 원환 다양체이다.

아핀 덮개

가환환 $K$에 대하여, 가중 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{i})$는 다음과 같이 $n+1$개의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 각 $i\in \{0,\dotsc ,n\}$에 대하여, $x_{i}$로 정의되는 열린집합

$U_{i}\{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{n})\colon (x_{i})\not \subseteq {\mathfrak {p}}\}$

은 아핀 스킴이다.

특히, $K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, $U_{i}$에 대응되는 가환환은 다음과 같다.

$A_{i}=K[x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n}]/\mu _{a_{i}}$

여기서 $\mu _{a_{i}}=\{\lambda \in K^{\times }\colon \lambda ^{a_{i}}=1\}$는 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군이며, 그 작용은

$\lambda \cdot x_{j}=\lambda ^{a_{j}}x_{j}$

이다. 구체적으로, 이 작용은 고정점을 갖지 않으므로, 이 몫은 기하 불변량 이론 몫(영어: GIT quotient)

$A_{i}=\operatorname {Spec} \left(K[x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n}]^{\mu _{a_{i}}}\right)$

이다. 여기서 $R^{G}$는 $G$의 작용에 불변인 $R$의 원소들의 부분환이다.

참고 문헌

• Dolgachev, Igor (1982). 〈Weighted projective varieties〉 (PDF). 《Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981)》. Lecture Notes in Math. (영어) 956. Berlin: Springer-Verlag. 34–71쪽. doi:10.1007/BFb0101508. MR 0704986. 
• Hosgood, Timothy (2016). “An introduction to varieties in weighted projective space” (영어). arXiv:1604.02441. Bibcode:2016arXiv160402441H.