ADM 형식

아노윗-데세르-미스너 수식 체계(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, 영어: Arnowitt–Deser–Misner formalism, 약자 ADM 수식 체계)는 일반 상대성 이론을 해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다. 시공간에 공간적 엽층을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 일반화 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약을 준다.

전개

그리스 문자 첨자 $\mu ,\nu ,\dots =0,1,\dots ,D$는 $D+1$차원 시공간을, 로마자 첨자 $i,j,\dots =1,\dots ,D$는 $D$차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다. 편의상 $c=1$로 놓자.

계량 텐서의 분해

$D+1$차원에서, 일반 상대성 이론의 동적 변수는 대칭 텐서인 계량 텐서 $g_{\mu \nu }^{(D+1)}$의 $(D+1)(D+2)/2$개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 미분 동형 사상을 게이지 대칭으로 가지며, 이는 (국소적으로) $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\delta x^{\mu }$와 같은 꼴이므로, $g_{\mu \nu }^{(D+1)}$의 성분 가운데 $D+1$개는 게이지 변환을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데

${\frac {1}{2}}(D+1)(D+2)-(D+1)={\frac {1}{2}}D(D+1)$

개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.^{:(3.9a), (3.10), (3.11a), (3.11b)}

$g_{\mu \nu }^{(D+1)}={\begin{pmatrix}g^{ij}N_{i}N_{j}-N^{2}&N_{i}\\N_{i}&g_{ij}\end{pmatrix}}$

$g_{(D+1)}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1/N^{2}&g^{ij}N_{j}N^{2}\\g^{ij}N_{j}/N^{2}&g^{ij}-g^{im}g^{jn}N_{m}N_{n}/N^{2}\end{pmatrix}}$

여기서 보조장 $N$과 $(N_{i})_{i=1,\dots ,D}$는 각각 경과장(經過場, 영어: lapse 랩스^[*]) 및 이동장(移動場, 영어: shift 시프트^[*])이라고 불린다. $(g^{ij})_{i,j=1,\dots ,D})$는 $(g_{ij})_{i,j=1,\dots ,D}$의 역행렬이다 (특히, $(g_{\mu \nu }^{(D+1)})_{\mu ,\nu =0,\dots ,D})$의 역행렬의 성분이 아니다). $g_{(D+1)}^{0,0}$는 $(g_{\mu \nu }^{(D+1)})_{\mu ,\nu =0,\dots ,D}$의 역행렬의 한 성분이다.

이 경우, $D+1$차원 계량 텐서의 행렬식은 다음과 같다.^:(3.12)

$-\det(g_{\mu \nu })=N^{2}\det(g_{ij})$

즉, 경과장 $N$은 $D+1$차원 계량으로 측정한 $D+1$차원 초부피 원소(야코비 행렬식)와 $D$차원 계량으로 측정한 $D$차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다.

이러한 분해는 전자기 퍼텐셜 $A_{\mu }=(A_{0},A_{i})$의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 $A_{0}$가 게이지 변환에 의하여 라그랑주 승수 보조장이 되는 것처럼, $N$과 $N_{i}$ 역시 마찬가지 역할을 한다.

운동량과 작용

일반 상대성 이론은 아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다.

$16\pi G{\mathcal {L}}={\sqrt {-\det(g_{\mu \nu }^{(D+1)})}}R^{(D+1)}$

여기서 $g_{\mu \nu }$는 계량 텐서, $R^{(D+1)}$은 $g_{\mu \nu }^{(D+1)}$로 계산한 리치 스칼라다.

이제 편의상 $D+1=3+1$인 경우만을 생각하자. $g_{ij}$에 대한 일반화 운동량 $\pi ^{ij}$를 계산하면 다음과 같다.

$\pi ^{ij}={\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta ({\dot {g}}_{ij})}}={\frac {1}{16\pi G}}{\sqrt {-\det g_{\mu \nu }}}\left(\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq}$

$g_{ij}$에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다.

$16\pi G{\mathcal {L}}=-g_{ij}{\dot {\pi }}^{ij}-NH-N_{i}P^{i}+\partial _{i}(\cdots )^{i}$

여기서

$H=-{\frac {1}{16\pi G}}{\sqrt {-\det g_{ij}}}\left(R+{\frac {1}{\det g_{ij}}}\left({\frac {1}{2}}(\det \pi ^{ij})^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right)$

$P^{i}=-{\frac {1}{8\pi G}}\nabla _{j}\pi ^{ij}$

이다. 즉 $N$과 $N_{i}$는 라그랑주 승수가 되며, 그 운동 방정식에 따라 $H=P^{i}=0$이다.

운동 방정식

$g_{ij}$ 및 $\pi ^{ij}$에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

${\dot {g}}_{ij}=2Ng^{-1/2}\left(\pi _{ij}-{\frac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+2\nabla _{(i;j)}$

${\dot {\pi }}^{ij}=-N{\sqrt {\det(g_{ij})}}(R^{ij}-{\frac {1}{2}}Rg^{ij})+{\frac {1}{2}}N(\det(g_{ij}))^{-1/2}g^{ij}(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\frac {1}{2}}\pi ^{2})-2Ng^{-1/2}(\pi ^{in}\pi _{n}{}^{j}-{\frac {1}{2}}\pi \pi ^{ij})$

$-{\sqrt {\det(g_{ij})}}(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{2}N)+\nabla _{n}(\pi ^{ij}N^{n})-2\pi ^{n(i}\nabla _{n}N^{j)}$

보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

$H=0$

$P^{i}=0$

이들은 위상 공간의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장 $N$ 및 $N_{i}$ 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분 동형 사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다.

ADM 에너지-운동량

ADM 질량(영어: ADM質量) 또는 ADM 에너지(영어: ADM energy)는 ADM 형식에서 자연스럽게 등장하는 일종의 해밀토니언의 값이다. $g_{\mu \nu }$를 변수로 하여 양자화하면 라그랑주 승수 $N$의 운동 방정식에 의하여 해밀토니언이 0이지만, 계량 텐서가 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하다고 하고,

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$

와 같이 쓰면 $h_{\mu \nu }$에 대한, 0이 아닌 해밀토니언을 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다.^{:(5.1):252–253}

$M={\frac {1}{16\pi G}}\lim _{r\to \infty }\oint _{r}(\delta ^{ij}\partial _{i}h_{jk}-\delta ^{ij}\partial _{k}h_{ij}){\hat {n}}^{k}\;{\sqrt {\gamma ^{(2)}}}\mathrm {d} x^{2}$

여기서 적분 $\textstyle \oint _{r}$은 원점에서 반지름이 $r$인 구면에 대하여 계산되고, ${\hat {n}}^{k}$는 구면에 대한 수직 단위 벡터이다. $\textstyle {\sqrt {\gamma ^{(2)}}}\;\mathrm {d} x^{2}$는 구면의 넓이 원소이다. 여기서 계수 $1/(16\pi )$는 슈바르츠실트 계량의 질량과 비교하여 고정된 것이다.

마찬가지로, ADM 운동량(ADM運動量, 영어: ADM momentum)을 정의할 수 있으며, 다음과 같다.^:(5.2)

$P^{i}=-{\frac {1}{8\pi G}}\lim _{r\to \infty }\oint _{r}\delta _{jk}\pi ^{ij}{\hat {n}}^{k}\;{\sqrt {\gamma ^{(2)}}}\mathrm {d} x^{2}$

만약 계량이 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하지 않다면 (예를 들어, 우주 상수가 존재한다면), 위 적분들은 수렴하지 않을 수 있다.

성질

ADM 에너지-운동량 $P^{\mu }$는 점근적 로런츠 변환에 대하여 4차원 벡터로 변환한다.^:§5.2 또한, 양 에너지 정리(陽energy定理, 영어: positive-energy theorem)에 따르면, ① 우세 에너지 조건을 만족시키고, ② 점근적으로 평탄하며, ③ ADM 에너지가 0인 4차원 시공간은 민코프스키 공간 밖에 없다.

역사

아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진

리처드 루이스 아노윗(영어: Richard Lewis Arnowitt, 1928~2014) · 스탠리 데세르(폴란드어: Stanley Deser, 1931~) · 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.

양 ADM 에너지 정리는 1979년에 리처드 멜빈 셰인(영어: Richard Melvin Schoen)과 야우싱퉁이 최초로 증명하였다. 이후 1981년에 에드워드 위튼이 순간자를 통한 새 증명을 제시하였고, 이듬해에 토머스 파커(영어: Thomas Parker)와 클리퍼드 헨리 토브스(영어: Clifford Henry Taubes)가 위튼의 증명을 수학적으로 엄밀하게 보완하였다.

참고 문헌

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