K이론

수학에서, K이론(K理論, 영어: K-theory)는 위상공간 또는 스킴 위에 존재하는 벡터다발 또는 연접층을 다루는 분야다. 공간에 존재하는 이러한 다발 또는 층의 성질들로부터, 위상공간 또는 스킴의 구조를 알 수 있다.

정의

K이론은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 기하학적 대상 위에, 그 위에 존재할 수 있는 벡터다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 (그로텐디크 군을 취하면) 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 군들을 K군(K群, 영어: K-group)이라고 하고, $K_{n}(M)$과 같이 쓴다. 여기서 $M$은 다루는 기하학적 대상이고, $n$은 대략 "다발의 차원"에 해당하는 정수인 지수다. $K_{n}$은 아벨 군의 범주로의 펑터를 이룬다.

K이론에는 위상 K이론, 대수 K이론(algebraic K-theory), 연산자 K이론(operator K-theory) 등이 있다. 위상 K이론은 위상공간 위에 존재하는 벡터다발들을 다룬다. 대수 K이론은 환 위에 존재하는 특정한 호모토피 이론적 구조들을 다룬다. (이는 스킴 이론을 통해, 스킴 위에 존재하는 연접층으로 생각할 수 있다.) 연산자 K이론은 C* 대수 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다룬다. 이는 비가환 기하학을 통해, 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

역사

K이론은 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 리만-로흐 정리를 확장한 그로텐디크-리만-로흐 정리(Grothendieck–Riemann–Roch theorem)를 발표하면서 도입한 것으로 여길 수 있다. "K"는 독일어: Klasse 클라세^[*]의 약자로, 특성류(characteristic class)를 뜻한다. 그로텐디크가 창시한 이론은 대수 K이론에서의 $K_{0}$에 해당한다.

곧 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1959년에 위상 K이론을 창시하였다.

1973년에 대니얼 퀼런이 고차 대수 K군($K_{3}$, $K_{4}$, …)을 정의하였다.

1997년에는 끈 이론의 D-막들이 K이론으로 분류된다는 사실이 밝혀졌다.

참고 문헌

• Atiyah, Michael (2000년 12월). “K-theory past and present”. arXiv:math/0012213. Bibcode:2000math.....12213A. 
• Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory”. arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z. 
• Cortiñas, Guillermo (2011). 〈Algebraic v. topological K-theory: a friendly match〉. 《Topics in algebraic and topological K-theory》. Springer Lecture Notes in Mathematics 2008. Berlin: Springer. 103–165쪽. arXiv:0903.3983. Bibcode:2009arXiv0903.3983C. doi:10.1007/978-3-642-15708-0_3. ISBN 978-3-642-15707-3. 
• Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Graduate Studies in Mathematics 145. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. 
• Karoubi, Max (2006년 2월). “K-theory. An elementary introduction”. arXiv:math/0602082. Bibcode:2006math......2082K. 
• Brodzki, Jacek (1996). “An introduction to K-theory and cyclic cohomology”. arXiv:funct-an/9606001. Bibcode:1996funct.an..6001B. 
• Baum, Paul F.; Rubén J. Sánchez-García (2009). “K-theory for group C*-algebras”. arXiv:0908.1066. 
• Freed, Daniel S. (2002). “K-theory in quantum field theory”. arXiv:math-ph/0206031. Bibcode:2002math.ph...6031F. 

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “K-theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.